中册 4.5 与积分有关的极限 第5题
📝 题目
5．设 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的连续函数，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin x)^{\alpha} \int_{x}^{1} \frac{f(t)}{t^{\alpha+1}} \mathrm{~d} t(\alpha>0)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin x)^{\alpha} \int_{x}^{1} \frac{f(t)}{t^{\alpha+1}} \mathrm{~d} t=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\alpha} \int_{x}^{1} \frac{f(t)}{t^{\alpha+1}} \mathrm{~d} t=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{x}^{1} \frac{f(t)}{t^{\alpha+1}} \mathrm{~d} t}{x^{-\alpha}}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-\frac{f(x)}{x^{\alpha+1}}}{-\alpha x^{-(\alpha+1)}}=\frac{1}{\alpha} \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\frac{1}{\alpha} f(0)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：等价无穷小替换
当 $x \to 0^+$ 时，$\sin x \sim x$，因此 $(\sin x)^\alpha \sim x^\alpha$。原极限可写为：
$$\lim_{x \to 0^+} (\sin x)^\alpha \int_x^1 \frac{f(t)}{t^{\alpha+1}} dt = \lim_{x \to 0^+} x^\alpha \int_x^1 \frac{f(t)}{t^{\alpha+1}} dt.$$
公式：$\sin x \sim x \ (x \to 0)$
提示：注意等价无穷小替换的条件：$\alpha>0$，且替换后极限形式不变。
步骤 2/5
目标：将极限转化为不定式形式
将 $x^\alpha$ 移到分母，得到 $\frac{1}{x^{-\alpha}}$，从而极限变为：
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\int_x^1 \frac{f(t)}{t^{\alpha+1}} dt}{x^{-\alpha}}.$$
当 $x \to 0^+$ 时，分子 $\int_x^1 \frac{f(t)}{t^{\alpha+1}} dt \to \int_0^1 \frac{f(t)}{t^{\alpha+1}} dt$，但分母 $x^{-\alpha} \to +\infty$，因此是 $\frac{\infty}{\infty}$ 型不定式。
提示：注意分子在 $x=0$ 处可能发散，但整体是 $\frac{\infty}{\infty}$ 型，可应用洛必达法则。
步骤 3/5
目标：应用洛必达法则
对分子分母分别求导。分子 $\int_x^1 \frac{f(t)}{t^{\alpha+1}} dt$ 对 $x$ 求导，由莱布尼茨法则得 $-\frac{f(x)}{x^{\alpha+1}}$。分母 $x^{-\alpha}$ 对 $x$ 求导得 $-\alpha x^{-\alpha-1}$。因此：
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\int_x^1 \frac{f(t)}{t^{\alpha+1}} dt}{x^{-\alpha}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{-\frac{f(x)}{x^{\alpha+1}}}{-\alpha x^{-\alpha-1}}.$$
公式：莱布尼茨法则：$\frac{d}{dx} \int_x^a g(t) dt = -g(x)$
提示：注意分子求导时下限是 $x$，所以有负号。分母求导时幂次为 $-\alpha$，导数为 $-\alpha x^{-\alpha-1}$。
步骤 4/5
目标：化简极限表达式
化简上一步得到的极限：
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{-\frac{f(x)}{x^{\alpha+1}}}{-\alpha x^{-\alpha-1}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{\alpha x^{\alpha+1}} \cdot x^{\alpha+1} = \frac{1}{\alpha} \lim_{x \to 0^+} f(x).$$
因为 $x^{\alpha+1}$ 与分母中的 $x^{\alpha+1}$ 约去。
提示：化简时注意符号：负号相消，幂次运算要仔细。
步骤 5/5
目标：利用连续性求极限
由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，所以 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$。因此极限值为：
$$\frac{1}{\alpha} f(0).$$
公式：连续函数的性质：$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
提示：注意 $f$ 在 $0$ 处连续是条件，否则极限可能不存在。
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