中册 4.5 与积分有关的极限 第6题
📝 题目
6．设 $\displaystyle F(x)=\mathrm{e}^{\frac{x^{2}}{2}} \int_{x}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{2}} \mathrm{~d} t, x \in[0,+\infty)$ ，试证：（1） $\lim _{x \rightarrow+\infty} F(x)=0$ ；（2）$F(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 内单调递减．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} F(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{x}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{2}} \mathrm{~d} t}{\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}}{\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}(-x)}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x}=0$ ．
（2）$\displaystyle F^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot x \int_{x}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{2}} \mathrm{~d} t+\mathrm{e}^{\frac{x^{2}}{2}}\left(-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}\right)=x \int_{x}^{+\infty} \mathrm{e}^{\frac{x^{2}-t^{2}}{2}} \mathrm{~d} t-1 \leqslant \int_{x}^{+\infty} t \mathrm{e}^{\frac{x^{2}-t^{2}}{2}} \mathrm{~d} t-1$
$$
=-\left.\mathrm{e}^{\frac{x^{2}-t^{2}}{2}}\right|_{x} ^{\infty}-1=1-1=0 .
$$
所以 $F(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 内单调递减．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将极限转化为分式形式
要证明 $\lim_{x \to +\infty} F(x)=0$，其中 $F(x)=e^{x^2/2} \int_x^{+\infty} e^{-t^2/2} dt$。将 $F(x)$ 改写为分式：$F(x)=\frac{\int_x^{+\infty} e^{-t^2/2} dt}{e^{-x^2/2}}$。这样当 $x\to+\infty$ 时，分子和分母都趋于0，满足洛必达法则的条件。
公式：$F(x)=\frac{\int_x^{+\infty} e^{-t^2/2} dt}{e^{-x^2/2}}$
提示：注意分子是积分上限为无穷的变限积分，当 $x\to+\infty$ 时积分趋于0。
步骤 2/6
目标：应用洛必达法则求极限
对分子分母分别求导。分子 $\int_x^{+\infty} e^{-t^2/2} dt$ 的导数为 $-e^{-x^2/2}$（因为积分下限是 $x$，求导得 $-f(x)$）。分母 $e^{-x^2/2}$ 的导数为 $e^{-x^2/2} \cdot (-x)$。因此：
$$\lim_{x\to+\infty} F(x)=\lim_{x\to+\infty} \frac{-e^{-x^2/2}}{e^{-x^2/2}(-x)}=\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x}=0.$$
公式：$\frac{d}{dx}\int_x^{+\infty} f(t)dt = -f(x)$
提示：注意求导时符号：积分下限求导要加负号。
步骤 3/6
目标：计算F(x)的导数
对 $F(x)=e^{x^2/2} \int_x^{+\infty} e^{-t^2/2} dt$ 求导，使用乘积法则：
$$F'(x)=e^{x^2/2}\cdot x \cdot \int_x^{+\infty} e^{-t^2/2} dt + e^{x^2/2} \cdot \left(-e^{-x^2/2}\right) = x e^{x^2/2} \int_x^{+\infty} e^{-t^2/2} dt - 1.$$
公式：$(uv)'=u'v+uv'$
提示：注意 $\frac{d}{dx} e^{x^2/2}=x e^{x^2/2}$，以及积分求导的负号。
步骤 4/6
目标：放缩积分项
由于 $t \ge x$，有 $t e^{x^2/2} e^{-t^2/2} \ge x e^{x^2/2} e^{-t^2/2}$，因此：
$$x e^{x^2/2} \int_x^{+\infty} e^{-t^2/2} dt \le \int_x^{+\infty} t e^{x^2/2} e^{-t^2/2} dt = \int_x^{+\infty} t e^{\frac{x^2-t^2}{2}} dt.$$
于是 $F'(x) \le \int_x^{+\infty} t e^{\frac{x^2-t^2}{2}} dt - 1$。
公式：$x \le t$ 时 $x e^{-t^2/2} \le t e^{-t^2/2}$
提示：放缩方向：要证明 $F'(x) \le 0$，所以将 $x$ 放大为 $t$。
步骤 5/6
目标：计算积分并得到导数非正
计算积分 $\int_x^{+\infty} t e^{\frac{x^2-t^2}{2}} dt$。令 $u = \frac{x^2-t^2}{2}$，则 $du = -t dt$，当 $t=x$ 时 $u=0$，$t\to+\infty$ 时 $u\to -\infty$，所以：
$$\int_x^{+\infty} t e^{\frac{x^2-t^2}{2}} dt = \int_0^{-\infty} e^u (-du) = \int_{-\infty}^0 e^u du = 1.$$
因此 $F'(x) \le 1-1=0$，即 $F'(x) \le 0$。
公式：$\int_{-\infty}^0 e^u du = 1$
提示：换元时注意积分限的变化，以及负号的处理。
步骤 6/6
目标：结论：单调递减
由于 $F'(x) \le 0$ 对所有 $x \in [0,+\infty)$ 成立，且等号仅在 $x=0$ 时可能取到（实际上 $F'(0)=-1<0$），因此 $F(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减。
提示：单调递减的充分条件是导数非正。
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