中册 4.5 与积分有关的极限 第7题
📝 题目
7．求证下列问题．
（1）设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续周期函数，求证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \mathrm{d} t$.
（2）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sin \frac{1}{x} \cdot \int_{0}^{x}|\sin t| \mathrm{d} t$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）对 $\forall x>T$ ，存在自然数 $n$ 使得 $n T \leqslant x<(n+1) T$ ．设 $x=n T+y, 0 \leqslant y
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将积分区间分解为周期整数倍加余项
对任意 $x > T$，存在自然数 $n$ 使得 $nT \leq x < (n+1)T$。令 $x = nT + y$，其中 $0 \leq y < T$。当 $x \to +\infty$ 时，$n \to \infty$。
提示：注意 $y$ 的范围是 $[0,T)$，且 $n$ 是整数。
步骤 2/7
目标：将积分拆分为 $n$ 个周期积分加余项积分
$$\int_0^x f(t) dt = \int_0^{nT+y} f(t) dt = \sum_{k=0}^{n-1} \int_{kT}^{(k+1)T} f(t) dt + \int_{nT}^{nT+y} f(t) dt$$
提示：注意积分限的对应关系。
步骤 3/7
目标：利用周期性简化积分和
由于 $f$ 以 $T$ 为周期，有 $\int_{kT}^{(k+1)T} f(t) dt = \int_0^T f(t) dt$ 对每个 $k$ 成立。因此 $$\sum_{k=0}^{n-1} \int_{kT}^{(k+1)T} f(t) dt = n \int_0^T f(t) dt$$
公式：$\int_{a}^{a+T} f(t) dt = \int_0^T f(t) dt$
提示：周期性是核心，注意积分区间长度必须为周期。
步骤 4/7
目标：代入极限表达式并化简
$$\frac{1}{x} \int_0^x f(t) dt = \frac{1}{nT+y} \left( n \int_0^T f(t) dt + \int_{nT}^{nT+y} f(t) dt \right)$$
提示：注意分母 $x = nT+y$。
步骤 5/7
目标：处理余项积分并取极限
由于 $f$ 连续，$\int_{nT}^{nT+y} f(t) dt$ 有界（因为 $y
提示：注意余项积分除以 $n$ 趋于0，但这里分母是 $nT+y$，同样趋于0。
步骤 6/7
目标：应用结论到具体函数
对于 $|\sin t|$，周期为 $\pi$，且 $$\int_0^\pi |\sin t| dt = \int_0^\pi \sin t dt = 2$$ 由（1）得 $$\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x} \int_0^x |\sin t| dt = \frac{2}{\pi}$$
提示：注意 $|\sin t|$ 周期为 $\pi$ 而非 $2\pi$。
步骤 7/7
目标：计算原极限
$$\lim_{x\to+\infty} \sin\frac{1}{x} \cdot \int_0^x |\sin t| dt = \lim_{x\to+\infty} \frac{\sin(1/x)}{1/x} \cdot \frac{1}{x} \int_0^x |\sin t| dt = 1 \cdot \frac{2}{\pi} = \frac{2}{\pi}$$
公式：$\lim_{u\to 0} \frac{\sin u}{u}=1$
提示：注意 $\sin(1/x) \sim 1/x$ 当 $x\to\infty$，但需严格处理。
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