中册 4.5 与积分有关的极限 第8题
📝 题目
8．设 $f(x)$ 为连续周期函数，周期 $\displaystyle T>0, \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x=C$ 。证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} n \int_{n}^{+\infty} \frac{f(x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x=C$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
因 $\displaystyle \int_{n}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{n}$ ，故 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} n \int_{n}^{+\infty} \frac{f(x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x=C$ 等价于 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{n}^{+\infty} \frac{f(x)-C}{x^{2}} \mathrm{~d} x=0$ ．
因 $\displaystyle \frac{1}{x^{2}}$ 递减，由积分第二中值定理，对 $\forall A>n$ ，存在 $\xi \in(n, A)$ 使
$$
n \int_{n}^{A} \frac{f(x)-C}{x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{n} \int_{n}^{\xi}(f(x)-C) \mathrm{d} x
$$
对 $\xi$ ，存在非负整数 $k$ 使 $0<\xi-n-k T
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：转化极限等式
由于 $\int_n^{+\infty} \frac{1}{x^2} \mathrm{d}x = \frac{1}{n}$，所以 $\lim_{n\to+\infty} n \int_n^{+\infty} \frac{f(x)}{x^2} \mathrm{d}x = C$ 等价于 $\lim_{n\to\infty} n \int_n^{+\infty} \frac{f(x)-C}{x^2} \mathrm{d}x = 0$。
公式：$\int_n^{+\infty} \frac{1}{x^2} \mathrm{d}x = \frac{1}{n}$
提示：注意将常数C提取出来，利用积分的线性性质。
步骤 2/6
目标：应用积分第二中值定理
因为 $\frac{1}{x^2}$ 在 $[n, A]$ 上单调递减，由积分第二中值定理，存在 $\xi \in (n, A)$ 使得
$$ n \int_n^A \frac{f(x)-C}{x^2} \mathrm{d}x = \frac{1}{n} \int_n^\xi (f(x)-C) \mathrm{d}x. $$
公式：积分第二中值定理：若 $g$ 单调，则 $\int_a^b f g = g(a) \int_a^\xi f + g(b) \int_\xi^b f$
提示：注意中值定理的条件：$\frac{1}{x^2}$ 单调递减，且 $f(x)-C$ 可积。
步骤 3/6
目标：利用周期性化简积分区间
由于 $f$ 周期为 $T$，且 $\int_0^T (f(x)-C) \mathrm{d}x = 0$，所以对任意整数 $k$，有 $\int_n^{n+kT} (f(x)-C) \mathrm{d}x = 0$。存在非负整数 $k$ 使得 $0 < \xi - n - kT < T$，则
$$ \int_n^\xi (f(x)-C) \mathrm{d}x = \int_{n+kT}^\xi (f(x)-C) \mathrm{d}x. $$
公式：$\int_0^T (f(x)-C) \mathrm{d}x = 0$
提示：注意周期函数积分性质：任意整数个周期上的积分为0。
步骤 4/6
目标：估计积分绝对值
于是
$$ \left| n \int_n^A \frac{f(x)-C}{x^2} \mathrm{d}x \right| = \frac{1}{n} \left| \int_{n+kT}^\xi (f(x)-C) \mathrm{d}x \right| \leq \frac{1}{n} \int_{n+kT}^\xi |f(x)-C| \mathrm{d}x \leq \frac{1}{n} \int_0^T |f(x)-C| \mathrm{d}x. $$
提示：注意积分区间长度不超过T，且被积函数非负。
步骤 5/6
目标：令A趋于无穷得到最终估计
令 $A \to +\infty$，由上式得
$$ \left| n \int_n^{+\infty} \frac{f(x)-C}{x^2} \mathrm{d}x \right| \leq \frac{1}{n} \int_0^T |f(x)-C| \mathrm{d}x. $$
提示：注意极限与积分次序交换的合理性，此处不等式对任意A成立，取极限后仍成立。
步骤 6/6
目标：取极限得结论
由于 $f$ 连续，$\int_0^T |f(x)-C| \mathrm{d}x$ 为有限常数，故当 $n \to \infty$ 时，右边趋于0，因此
$$ \lim_{n \to \infty} n \int_n^{+\infty} \frac{f(x)-C}{x^2} \mathrm{d}x = 0, $$
即 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \int_n^{+\infty} \frac{f(x)}{x^2} \mathrm{d}x = C$。
提示：注意夹逼定理的应用：绝对值小于一个趋于0的量，则极限为0。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。