中册 4.5 与积分有关的极限 第9题
📝 题目
9．证明下列命题．
（1）设函数 $f(x)$ 在任何有限区间上可积（或 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续），且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．求证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=0$ ．
（2）设函数 $f(x)$ 在任何有限区间上可积（或 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续），且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=l$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由条件 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，对任给的 $\varepsilon>0$ ，存在 $A>0$ ，当 $x \geqslant A$ 时，$|f(x)|<\varepsilon$ ．故对一切 $t>A$有
$$
0 \leqslant\left|\frac{1}{t} \int_{0}^{t} f(x) \mathrm{d} x\right|=\frac{1}{t} \int_{0}^{t}|f(x)| \mathrm{d} x=\frac{1}{t} \int_{0}^{A}|f(x)| \mathrm{d} x+\frac{1}{t} \int_{A}^{t}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant \frac{1}{t} \int_{0}^{A}|f(x)| \mathrm{d} x+\frac{\varepsilon(t-A)}{t} .
$$
于是
$$
0 \leqslant\left|\frac{1}{t} \int_{0}^{t} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{1}{t} \int_{0}^{t}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant \varepsilon
$$
原式得证．
（2）记 $g(x)=f(x)-l$ ．由（1）得 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} g(t) \mathrm{d} t=0$ ．于是 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=l$ ．
或直接证明：由 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=l$ ，得 $\forall \varepsilon>0, \exists M_{1}>0$ ，当 $x>M_{1}$ 时有 $\displaystyle |f(x)-l|<\frac{\varepsilon}{2}$ ．于是当 $x>M_{1}$ 时有
$$
\begin{aligned}
\left|\frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-l\right| & =\left|\frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\frac{1}{x} \int_{0}^{x} l \mathrm{~d} t\right| \leqslant \frac{1}{x} \int_{0}^{x}|f(t)-l| \mathrm{d} t=\frac{1}{x}\left(\int_{0}^{M_{1}}|f(t)-l| \mathrm{d} t+\int_{M_{1}}^{x}|f(t)-l| \mathrm{d} t\right) \\
& \leqslant \frac{1}{x} \int_{0}^{M_{1}}|f(t)-l| \mathrm{d} t+\frac{\varepsilon}{2} \frac{x-M_{1}}{x} \leqslant \frac{1}{x} \int_{0}^{M_{1}}|f(t)-l| \mathrm{d} t+\frac{\varepsilon}{2}
\end{aligned}
$$
因 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{M_{1}}|f(t)-l| \mathrm{d} t=0$ ，于是对上述 $\varepsilon, \exists M_{2}>M_{1}$ ，当 $x>M_{2}$ 时有 $\displaystyle \frac{1}{x} \int_{0}^{M_{2}}|f(t)-l| \mathrm{d} t<\frac{\varepsilon}{2}$ ．从而当 $x>M_{2}$ 时有 $\displaystyle \left|\frac{1}{x} \int_{0}^{M_{2}} f(t) \mathrm{d} t-l\right|<\varepsilon$ ．故 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=l$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用极限定义转化条件
由 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $A>0$，当 $x\geq A$ 时，$|f(x)|<\varepsilon$。
提示：注意极限定义中 $\varepsilon$ 的任意性，以及 $A$ 的选取依赖于 $\varepsilon$。
步骤 2/6
目标：拆分积分区间
对 $t>A$，有
$$
\left|\frac{1}{t}\int_0^t f(x)\,dx\right| \leq \frac{1}{t}\int_0^t |f(x)|\,dx = \frac{1}{t}\int_0^A |f(x)|\,dx + \frac{1}{t}\int_A^t |f(x)|\,dx.
$$
提示：注意绝对值不等式 $|\int f| \leq \int |f|$ 的使用，以及积分区间的可加性。
步骤 3/6
目标：估计第二部分积分
由于当 $x\geq A$ 时 $|f(x)|<\varepsilon$，故
$$
\frac{1}{t}\int_A^t |f(x)|\,dx \leq \frac{1}{t}\int_A^t \varepsilon\,dx = \varepsilon\frac{t-A}{t} < \varepsilon.
$$
提示：注意 $\frac{t-A}{t}<1$，因此第二部分小于 $\varepsilon$。
步骤 4/6
目标：取极限得到结论
固定 $A$，令 $t\to+\infty$，则 $\frac{1}{t}\int_0^A |f(x)|\,dx \to 0$。因此对任意 $\varepsilon>0$，存在 $T>A$，当 $t>T$ 时，有
$$
\left|\frac{1}{t}\int_0^t f(x)\,dx\right| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon.
$$
由 $\varepsilon$ 的任意性，得 $\lim_{t\to+\infty}\frac{1}{t}\int_0^t f(x)\,dx = 0$。
提示：注意 $\varepsilon$ 的任意性，最终极限为0。
步骤 5/6
目标：第二问：构造辅助函数
令 $g(x)=f(x)-l$，则 $\lim_{x\to+\infty} g(x)=0$。由第一问结论，$\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\int_0^x g(t)\,dt = 0$。
提示：注意 $g(x)$ 满足第一问条件。
步骤 6/6
目标：利用线性性质得到结果
由于 $\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt = \frac{1}{x}\int_0^x (g(t)+l)\,dt = \frac{1}{x}\int_0^x g(t)\,dt + l$，取极限即得 $\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\,dt = 0 + l = l$。
提示：注意积分线性性质：$\int (g+l) = \int g + \int l$。
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