中册 4.5 与积分有关的极限 第10题
📝 题目
10．设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调增加，在任 意的有穷区间 $[0, T]$ 上 $f(x)$ 可积，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=C$ ．证明 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=C$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调增加知 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\sup _{(0,+\infty)} f(x) \triangleq M$ 。下证： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=C=M$ 。
若 $C>M$ ，则 $\exists \varepsilon_{1}>0, x_{1}>0$ ，当 $x>x_{1}$ 时有 $f(x)C$ ，则 $\exists \varepsilon_{2}>0, x_{2}>0$ ，当 $x>x_{2}$ 时有 $f(x)>C+\varepsilon_{2}$ ．于是
$$
C=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x_{2}} f(t) \mathrm{d} t+\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{x_{2}}^{x} f(t) \mathrm{d} t \geqslant \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x-x_{2}}{x}\left(C+\varepsilon_{2}\right)=C+\varepsilon_{2} \text {, 矛盾. }
$$
综上得 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=C$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义极限并转化问题
由于 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调增加，故极限 $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ 存在（可能为 $+\infty$），记 $M = \lim_{x\to+\infty} f(x) = \sup_{(0,+\infty)} f(x)$。要证明 $M = C$。
提示：注意单调递增函数在无穷远处的极限就是上确界，可能为无穷大，但题目条件暗示极限有限。
步骤 2/6
目标：反证法假设 $C > M$
假设 $C > M$，则存在 $\varepsilon_1 > 0$ 和 $x_1 > 0$，使得当 $x > x_1$ 时，$f(x) < C - \varepsilon_1$。
提示：由极限定义，$M$ 是上确界，$C > M$ 意味着 $f(x)$ 最终小于某个小于 $C$ 的数。
步骤 3/6
目标：利用积分估计导出矛盾（$C > M$ 情形）
将积分分段：$\frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt = \frac{1}{x}\int_0^{x_1} f(t)dt + \frac{1}{x}\int_{x_1}^x f(t)dt$。当 $x \to +\infty$ 时，第一项趋于 $0$。第二项中，由于 $f(t) < C-\varepsilon_1$，有 $\frac{1}{x}\int_{x_1}^x f(t)dt \leq \frac{x-x_1}{x}(C-\varepsilon_1)$。取极限得 $C \leq C-\varepsilon_1$，矛盾。
公式：$\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x}\int_0^{x_1} f(t)dt = 0$
提示：注意 $\int_0^{x_1} f(t)dt$ 是常数，除以 $x$ 趋于 $0$；不等式方向要小心，因为 $f(t) < C-\varepsilon_1$，积分后除以 $x$ 仍小于等于。
步骤 4/6
目标：反证法假设 $M > C$
假设 $M > C$，则存在 $\varepsilon_2 > 0$ 和 $x_2 > 0$，使得当 $x > x_2$ 时，$f(x) > C + \varepsilon_2$。
提示：由 $M$ 是上确界且大于 $C$，存在点使得函数值大于 $C$，但单调递增保证之后所有点都大于该值。
步骤 5/6
目标：利用积分估计导出矛盾（$M > C$ 情形）
类似地，$\frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt = \frac{1}{x}\int_0^{x_2} f(t)dt + \frac{1}{x}\int_{x_2}^x f(t)dt$。第一项趋于 $0$。第二项中，$f(t) > C+\varepsilon_2$，故 $\frac{1}{x}\int_{x_2}^x f(t)dt \geq \frac{x-x_2}{x}(C+\varepsilon_2)$。取极限得 $C \geq C+\varepsilon_2$，矛盾。
提示：不等式方向反向，注意 $\geq$ 号。
步骤 6/6
目标：得出结论
由反证法，$C > M$ 和 $M > C$ 均不可能，故 $M = C$，即 $\lim_{x\to+\infty} f(x) = C$。
提示：注意 $M$ 可能为 $+\infty$，但 $C$ 有限，故 $M$ 必有限。
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