中册 4.5 与积分有关的极限 第13题
📝 题目
13．证明下列命题，并求极限．
（1）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续非负，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\int_{a}^{b} f^{n}(x) \mathrm{d} x}=\max _{a
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）记 $M=\max _{a0, \exists x_{0} \in[a, b], \forall x \in[a, b], 00, \exists \delta>0$ 使 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right) \subseteq[a, b]$ ，且 $x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$时，$f(x) \geqslant M-\varepsilon$ 。从而
于是
$$
\left[\int_{a}^{b}(f(x))^{n} \mathrm{~d} x\right]^{\frac{1}{n}} \geqslant\left[\int_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta}(f(x))^{n} \mathrm{~d} x\right]^{\frac{1}{n}} \geqslant(2 \delta)^{\frac{1}{n}}(M-\varepsilon)
$$
$\lim _{n \rightarrow+\infty}\left[\int_{a}\right]$
由于 $\varepsilon$ 任意性得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left[\int_{a}^{b}(f(x))^{n} \mathrm{~d} x\right]^{\frac{1}{n}}=M$ ，即 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left[\int_{a}^{b}(f(x))^{n} \mathrm{~d} x\right]^{\frac{1}{n}}=\max _{x \in[a, b]} f(x)$ ．
（2）因函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，所以 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 上连续．由（1）得
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}=\max _{x \in[a, b]}|f(x)|
$$
（3）设 $M=\sup \{|f(x)| x \in[0,+\infty)\}$ ，由题设条件，知 $0 \leqslant M<+\infty$ 。由确界定义，对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $x_{0} \in[0,+\infty)$ 使得 $\left|f\left(x_{0}\right)\right|>M-\varepsilon$ 。由 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，存在 $\delta>0$ ，当 $\left|x-x_{0}\right|<\delta, x \in[0,+\infty)$时，$|f(x)|>M-\varepsilon$ 。从而
$$
(M-\varepsilon) \sqrt[n]{2 \delta} \leqslant \sqrt[n]{\int_{0}^{n}|f(x)|^{n} \mathrm{~d} x} \leqslant \sqrt[n]{n} M
$$
由此得 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{\int_{0}^{n}|f(x)|^{n} d x}=M$ ．
（4）令 $\displaystyle g(x)=\frac{1}{f(x)}$ ，则 $\max _{x \in[a, b]}|g(x)|=\min _{x \in[a, b]} f(x)=1$ ．由（1）知
$$
\begin{aligned}
& \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\int_{a}^{b}|g(x)|^{n} \mathrm{~d} x\right]^{\frac{1}{n}}=\max _{x \in[a, b]}|g(x)|=1 \\
& \lim _{n \rightarrow+\infty}\left[\int_{a}^{b} \frac{1}{(f(x))^{n}} \mathrm{~d} x\right]^{\frac{1}{n}}=1
\end{aligned}
$$
所以
（5）证明与（1）类似．
（6）由 holder 不等式得
$$
A_{n}=\sqrt[n]{\int_{a}^{a+1} f^{n}(x) \mathrm{d} x} \leqslant \sqrt[n]{\left[\int_{a}^{a+1}\left(f^{n}(x)\right)^{\frac{n+1}{n}} \mathrm{~d} x\right]^{\frac{n}{n+1}} \cdot\left(\int_{a}^{a+1} 1^{n+1} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n+1}}}=\left(\int_{a}^{a+1} f^{n+1}(x) \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{n+1}}=A_{n+1}
$$
所以 $\left\{A_{n}\right\}$ 单调递增．往证： $\lim _{n \rightarrow \infty} A_{n}=M$ ．
因为 $A_{n}=\sqrt[n]{\int_{a}^{a+1} f^{n}(x) \mathrm{d} x} \leqslant \sup _{[a, a+1]} f(x)$ ，所以 $\left\{A_{n}\right\}$ 收敛。由（1）知
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} A_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\int_{a}^{a+1} f^{n}(x) \mathrm{d} x}=\sup _{[a, a+1]} f(x)
$$
（7）函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上取到最大值．记 $M=\max _{a0$ ，于是 $\exists x_{0} \in[a, b]$ ，对 $\forall x \in[a, b], 00, \exists \delta>0$ 使 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right) \subseteq[a, b]$ 。当 $x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ 时 $f(x) \geqslant M-\varepsilon$ ．从而
$$
\left[\int_{a}^{b}(f(x))^{n} g(x) \mathrm{d} x\right]^{\frac{1}{n}} \geqslant\left[\int_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta}(f(x))^{n} g(x) \mathrm{d} x\right]^{\frac{1}{n}} \geqslant(M-\varepsilon)\left[\int_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta} g(x) \mathrm{d} x\right]^{\frac{1}{n}}
$$
由 $\varepsilon$ 的任意性知 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{a}^{b} f^{n}(x) \mathrm{g}(x) \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{n}}=\max _{a \leqslant x
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：设定最大值并处理零值情况
设 $M = \max_{a \le x \le b} f(x)$。若 $M = 0$，则 $f(x) \equiv 0$，积分值为0，极限为0，结论成立。若 $M > 0$，则存在 $x_0 \in [a,b]$ 使得 $f(x_0) = M$。由连续性，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$ 使得当 $x \in (x_0-\delta, x_0+\delta) \cap [a,b]$ 时，$f(x) \ge M - \varepsilon$。
提示：注意 $M=0$ 时极限显然为0，但需单独说明。
步骤 2/4
目标：上界估计
由于 $f(x) \le M$，有 $\int_a^b f^n(x) dx \le M^n (b-a)$，因此 $\left(\int_a^b f^n(x) dx\right)^{1/n} \le M (b-a)^{1/n}$。取上极限得 $\limsup_{n\to\infty} \left(\int_a^b f^n(x) dx\right)^{1/n} \le M$。
公式：$\int_a^b f^n(x) dx \le M^n (b-a)$
提示：注意 $(b-a)^{1/n} \to 1$，所以上极限不超过 $M$。
步骤 3/4
目标：下界估计
利用 $f(x) \ge M-\varepsilon$ 在小区间上成立，有 $\int_a^b f^n(x) dx \ge \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} (M-\varepsilon)^n dx = 2\delta (M-\varepsilon)^n$。因此 $\left(\int_a^b f^n(x) dx\right)^{1/n} \ge (2\delta)^{1/n} (M-\varepsilon)$。取下极限得 $\liminf_{n\to\infty} \left(\int_a^b f^n(x) dx\right)^{1/n} \ge M-\varepsilon$。由 $\varepsilon$ 任意性得下极限 $\ge M$。
公式：$\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} (M-\varepsilon)^n dx = 2\delta (M-\varepsilon)^n$
提示：注意 $(2\delta)^{1/n} \to 1$，且 $\varepsilon$ 可任意小。
步骤 4/4
目标：极限存在且等于最大值
由上下极限夹逼得 $\lim_{n\to\infty} \left(\int_a^b f^n(x) dx\right)^{1/n} = M$。
提示：上下极限相等即极限存在。
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