中册 4.5 与积分有关的极限 第14题
📝 题目
14．求下列极限．
（1）设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续非负，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} g(x) \sqrt[n]{f(x)} \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b] \subset\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，且 $f(x)>0$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} \sin x \sqrt[n]{f(x)} \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi}(\sin x)^{\frac{1}{n}} \mathrm{~d} x=\pi$ 。
（4） $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \sqrt[n]{x} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积．
（5）设 $f(x, y)$ 在 $D=[0, \pi] \times[0, \pi]$ 上连续，且恒取正值，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \iint_{D}(\sin x)(f(x, y))^{\frac{1}{n}} \mathrm{~d} \sigma$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $0 \leqslant m=\min _{a
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：应用（1）的结果求解（2）
在（1）中取 $g(x)=\sin x$，$f(x)$ 为给定的正连续函数。由于 $\sin x$ 在 $[a,b]\subset[0,\pi/2]$ 上非负连续，且 $f(x)>0$，由（1）得：
$$
\lim_{n\to\infty} \int_a^b \sin x \sqrt[n]{f(x)} dx = \int_a^b \sin x dx = \cos a - \cos b.
$$
公式：（1）的结论：$\lim_{n\to\infty} \int_a^b g(x)\sqrt[n]{f(x)}dx = \int_a^b g(x)dx$。
提示：注意 $\sin x$ 在 $[0,\pi/2]$ 上非负，满足条件。
步骤 2/4
目标：直接应用（1）求解（3）
在（1）中取 $g(x)=1$，$f(x)=\sin x$。但 $\sin x$ 在 $[0,\pi]$ 上非负，且 $\sin x$ 在端点为零，最小值 $m=0$，最大值 $M=1$。直接应用（1）的夹逼法：$\sqrt[n]{0}=0$，$\sqrt[n]{1}=1$，得 $0 \leq \int_0^\pi (\sin x)^{1/n} dx \leq \pi$，无法直接得到极限为 $\pi$。需用更精细的估计。答案给出另一种证法：对任意 $\varepsilon>0$，在 $[\varepsilon,\pi-\varepsilon]$ 上 $\sin x \geq \sin\varepsilon>0$，则 $(\sin x)^{1/n}$ 一致收敛于1，故 $\lim_{n\to\infty} \int_\varepsilon^{\pi-\varepsilon} (\sin x)^{1/n} dx = \pi-2\varepsilon$。而 $\int_0^\pi (\sin x)^{1/n} dx \geq \int_\varepsilon^{\pi-\varepsilon} (\sin x)^{1/n} dx$，且 $\int_0^\pi (\sin x)^{1/n} dx \leq \pi$，由 $\varepsilon$ 任意性得极限为 $\pi$。
公式：一致收敛性：若函数列在闭区间上一致收敛，则可逐项积分。
提示：注意 $\sin x$ 在端点为零，导致 $\sqrt[n]{\sin x}$ 在端点为零，但积分值仍趋于 $\pi$，因为端点测度为零。
步骤 3/4
目标：直接计算极限（4）
考虑差值：
$$
\left|\int_0^1 \sqrt[n]{x} f(x) dx - \int_0^1 f(x) dx\right| \leq \int_0^1 |\sqrt[n]{x}-1| |f(x)| dx \leq \sup_{[0,1]}|f(x)| \int_0^1 (1-\sqrt[n]{x}) dx.
$$
计算 $\int_0^1 (1-\sqrt[n]{x}) dx = \int_0^1 (1-x^{1/n}) dx = 1 - \frac{1}{1+1/n} = \frac{1}{n+1}$。因此差值 $\leq \frac{\sup|f|}{n+1} \to 0$，故极限为 $\int_0^1 f(x) dx$。
公式：$\int_0^1 x^{p} dx = \frac{1}{p+1}$（$p>-1$）。
提示：注意 $f(x)$ 可积，但需有界才能用 $\sup$。题目说可积，不一定有界？但可积函数在闭区间上有界，所以 $\sup$ 存在。
步骤 4/4
目标：应用（1）的结论求解（5）
将二重积分化为累次积分：
$$
\iint_D \sin x \, (f(x,y))^{1/n} d\sigma = \int_0^\pi \sin x \left( \int_0^\pi (f(x,y))^{1/n} dy \right) dx.
$$
对固定的 $x$，内层积分关于 $y$ 是（1）的形式，其中 $g(y)=1$，$f_y(y)=f(x,y)$。由（1），对每个 $x$，$\lim_{n\to\infty} \int_0^\pi (f(x,y))^{1/n} dy = \int_0^\pi 1 dy = \pi$。但需验证极限与积分交换次序。由于 $f$ 连续且恒正，在 $D$ 上 $f$ 有最小值 $m>0$ 和最大值 $M$，则 $m^{1/n} \leq (f(x,y))^{1/n} \leq M^{1/n}$，故 $\pi m^{1/n} \leq \int_0^\pi (f(x,y))^{1/n} dy \leq \pi M^{1/n}$，从而内层积分一致收敛于 $\pi$。因此可交换次序：
$$
\lim_{n\to\infty} \iint_D \sin x (f(x,y))^{1/n} d\sigma = \int_0^\pi \sin x \left( \lim_{n\to\infty} \int_0^\pi (f(x,y))^{1/n} dy \right) dx = \int_0^\pi \sin x \cdot \pi dx = \pi \int_0^\pi \sin x dx = \pi \cdot 2 = 2\pi.
$$
公式：一致收敛下的积分交换次序定理。
提示：注意 $f$ 恒正保证最小值 $m>0$，从而内层积分一致收敛。若 $f$ 可能为零，则需更精细处理。
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