中册 4.5 与积分有关的极限 第15题

\section*{解题过程：} （1）由连续性知，对 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \delta \in[0,1]$ ，对 $x \in[1-\delta, 1]$ 有 $|f(x)-f(1)|<\varepsilon$ ．从而 $$ \begin{aligned} \left|n \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x-f(1)\right| & =\left|n \int_{0}^{1} x^{n}(f(x)-f(1)) \mathrm{d} x-\int_{0}^{1} x^{n} f(1) \mathrm{d} x\right| \\ & =\left|n \int_{0}^{1-\delta} x^{n}(f(x)-f(1)) \mathrm{d} x+n \int_{1-\delta}^{1} x^{n}(f(x)-f(1)) \mathrm{d} x-\frac{1}{n+1} f(1)\right| \\ & \leqslant\left|n \int_{0}^{1-\delta} x^{n}(f(x)-f(1)) \mathrm{d} x\right|+\left|n \int_{1-\delta}^{1} x^{n}(f(x)-f(1)) \mathrm{d} x\right|+\frac{1}{n+1}|f(1)| \\ & \leqslant n \int_{0}^{1-\delta} x^{n}|f(x)-f(1)| \mathrm{d} x+n \int_{1-\delta}^{1} x^{n}|f(x)-f(1)| \mathrm{d} x+\frac{1}{n+1}|f(1)| \\ & \leqslant 2 M n \int_{0}^{1-\delta} x^{n} \mathrm{~d} x+\varepsilon n \int_{1-\delta}^{1} x^{n} \mathrm{~d} x+\left|\frac{1}{n+1} f(1)\right| \\ & =2 M \frac{n}{n+1}(1-\delta)^{n+1}+\varepsilon \frac{n}{n+1}\left(1-(1-\delta)^{n+1}\right)+\frac{1}{n+1}|f(1)| \end{aligned} $$ 其中 $M=\max _{x \in[0,1]}\{f(x)\}$ 。于是 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|n \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x-f(1)\right|=0$ ，从而有 $\lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ． （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}(n+1) \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{n+1}{n} n \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ． （3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} n \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=0 \cdot f(1)=0$ ． 另证：由 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，从而在 $[0,1]$ 上有界，即 $\exists M>0$ 使得 $|f(x)| \leqslant M$ 。则对 $\forall \delta>0$ ， $$ \int_{0}^{1} x^{n}|f(x)| \mathrm{d} x=\int_{0}^{1-\delta} x^{n}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{1-\delta}^{1} x^{n}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant M(1-\delta)^{n}+M \delta $$ 于是 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=0$ ． （4）由（2）可证得。