中册 4.5 与积分有关的极限 第17题
📝 题目
17．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=0$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x+x^{2}} \mathrm{dx}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{\sqrt{3+2 x}} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{2+\sin n x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方法 1：由积分第一中值定理得
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} \mathrm{~d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+\xi} \int_{0}^{1} x^{n} \mathrm{~d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+\xi} \cdot \frac{1}{n+1}=0, \quad 0 \leqslant \xi \leqslant 1 .
$$
方法 2：因为 $0 \leqslant x \leqslant 1$ ，故有 $\displaystyle 0 \leqslant \frac{x^{n}}{1+x} \leqslant x^{n}$ ．于是
$$
0 \leqslant \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} \mathrm{~d} x \leqslant \int_{0}^{1} x^{n} \mathrm{~d} x
$$
又由于 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \mathrm{~d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1}=0$ ，因此 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} \mathrm{~d} x=0$ ．
方法 3：将区间 $[0,1]$ 分成 $[0,1-\varepsilon] \cup[1-\varepsilon, 1]$ 两段来处理．
因对 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \frac{x^{n}}{1+x}$ 在 $[0,1-\varepsilon]$ 一致收敛于 0 ，故对上述 $\varepsilon>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时有
$$
\left|\frac{x^{n}}{1+x}\right|<\frac{\varepsilon}{2}, x \in[0,1-\varepsilon] .
$$
又 $\displaystyle \left|\frac{x^{n}}{1+x}\right| \leqslant \frac{1}{2}, x \in[1-\varepsilon, 1]$ ，于是当 $n>N$ 时有
$$
\left|\int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} \mathrm{~d} x\right|=\left|\int_{0}^{1-\varepsilon} \frac{x^{n}}{1+x} \mathrm{~d} x+\int_{1-\varepsilon}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} \mathrm{~d} x\right| \leqslant \int_{0}^{1-\varepsilon}\left|\frac{x^{n}}{1+x}\right| \mathrm{d} x+\int_{1-\varepsilon}^{1}\left|\frac{x^{n}}{1+x}\right| \mathrm{d} x<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
$$
因此 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} \mathrm{~d} x=0$ ．
（2）由于 $\displaystyle 0 \leqslant \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+\sqrt{x}} \mathrm{~d} x \leqslant \int_{0}^{1} x^{n} \mathrm{~d} x=\frac{1}{n+1} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$ ，所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=0$ ．
（3）由于 $\displaystyle 0 \leqslant \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x+x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant \int_{0}^{1} x^{n} \mathrm{~d} x=\frac{1}{n+1} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$ ，所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x+x^{2}} \mathrm{~d} x=0$ ．
（4）由于
所以
$$
\int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{\sqrt{3+2 x}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{\sqrt{3+2 \xi}} \int_{0}^{1} x^{n} \mathrm{~d} x=\frac{1}{\sqrt{3+2 \xi}} \frac{1}{n+1} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)
$$
（5）由于 $\displaystyle 0 \leqslant \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{2+\sin n x} \mathrm{~d} x \leqslant \int_{0}^{1} x^{n} \mathrm{~d} x=\frac{1}{n+1} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$ ，所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{2+\sin n x} \mathrm{~d} x=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析极限形式
考虑极限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \, dx$。由于 $x \in [0,1]$，$x^n$ 在 $n \to \infty$ 时趋于0（除 $x=1$ 外），但积分区间包含端点，需谨慎处理。
提示：注意 $x=1$ 处 $x^n=1$，但该点测度为0，不影响积分值。
步骤 2/6
目标：应用积分中值定理
由积分第一中值定理，存在 $\xi \in [0,1]$ 使得 $\displaystyle \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \, dx = \frac{1}{1+\xi} \int_0^1 x^n \, dx = \frac{1}{1+\xi} \cdot \frac{1}{n+1}$。
公式：积分第一中值定理：$\int_a^b f(x)g(x) \, dx = f(\xi) \int_a^b g(x) \, dx$，其中 $g(x)$ 不变号。
提示：需验证 $\frac{1}{1+x}$ 在 $[0,1]$ 上连续，$x^n \ge 0$，满足定理条件。
步骤 3/6
目标：取极限
由于 $\frac{1}{1+\xi} \le 1$，故 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1+\xi} \cdot \frac{1}{n+1} = 0$。因此原极限为0。
提示：注意 $\xi$ 依赖于 $n$，但 $\frac{1}{1+\xi}$ 有界，不影响极限为0。
步骤 4/6
目标：方法二：放缩法
由于 $0 \le \frac{x^n}{1+x} \le x^n$（因为 $1+x \ge 1$），积分得 $0 \le \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \, dx \le \int_0^1 x^n \, dx = \frac{1}{n+1}$。由夹逼定理，极限为0。
公式：夹逼定理：若 $a_n \le b_n \le c_n$ 且 $\lim a_n = \lim c_n = L$，则 $\lim b_n = L$。
提示：放缩时注意不等式方向，分母 $1+x \ge 1$ 导致 $\frac{x^n}{1+x} \le x^n$。
步骤 5/6
目标：推广到其他题目
对于 (2)-(5)，被积函数分母在 $[0,1]$ 上均大于等于某个正常数（如 $1+\sqrt{x} \ge 1$，$1+x+x^2 \ge 1$，$\sqrt{3+2x} \ge \sqrt{3}$，$2+\sin nx \ge 1$），因此 $0 \le \frac{x^n}{\text{分母}} \le x^n$，积分后夹逼得极限为0。
提示：注意 (4) 分母 $\sqrt{3+2x} \ge \sqrt{3}$，但放缩时可用 $\frac{x^n}{\sqrt{3+2x}} \le \frac{x^n}{\sqrt{3}}$，积分得 $\frac{1}{\sqrt{3}(n+1)} \to 0$。
步骤 6/6
目标：总结
所有极限均为0。核心思想：在 $[0,1]$ 上，$x^n$ 除 $x=1$ 外一致趋于0，且分母有正下界，故积分趋于0。
提示：注意 (5) 中分母 $2+\sin nx$ 虽依赖于 $n$，但始终 $\ge 1$，放缩仍有效。
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