中册 4.5 与积分有关的极限 第18题
📝 题目
18．设 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f\left(\frac{x^{n}}{1+x}\right) \mathrm{d} x=f(0)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
将区间 $[0,1]$ 分成 $[0,1-\varepsilon] \cup[1-\varepsilon, 1]$ 两段来处理．$\forall \varepsilon>0$ ，
$$
\int_{0}^{1} f\left(\frac{x^{n}}{1+x}\right) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1-\varepsilon} f\left(\frac{x^{n}}{1+x}\right) \mathrm{d} x+\int_{1-\varepsilon}^{1} f\left(\frac{x^{n}}{1+x}\right) \mathrm{d} x \stackrel{\Delta}{=} I_{1}+I_{2}
$$
对 $I_{2}$ ，有
$$
\left|I_{2}\right| \leqslant \int_{1-\varepsilon}^{1}\left|f\left(\frac{x^{n}}{1+x}\right)\right| \mathrm{d} x \leqslant \varepsilon \max _{[0,1]}|f(x)|
$$
对 $I_{1}$ ，有
$$
\left|I_{1}-f(0)\right| \leqslant \int_{0}^{1-\varepsilon}\left|f\left(\frac{x^{n}}{1+x}\right)-f(0)\right| \mathrm{d} x+|f(0)| \varepsilon
$$
因为 $\displaystyle \left\{\frac{x^{n}}{1+x}\right\}$ 在 $[0,1-\varepsilon]$ 一致收敛于 0 ，所以对上述 $\varepsilon>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，对 $\forall x \in[0,1-\varepsilon]$ 有 $\displaystyle \left|f\left(\frac{x^{n}}{1+x}\right)-f(0)\right|<\frac{\varepsilon}{2}$ ．所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_{1}=f(0)$ ．
于是 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f\left(\frac{x^{n}}{1+x}\right) \mathrm{d} x=f(0)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分割积分区间
对于任意给定的 $\varepsilon>0$，将积分区间 $[0,1]$ 分割为 $[0,1-\varepsilon]$ 和 $[1-\varepsilon,1]$ 两部分，即
$$\int_0^1 f\left(\frac{x^n}{1+x}\right) dx = \int_0^{1-\varepsilon} f\left(\frac{x^n}{1+x}\right) dx + \int_{1-\varepsilon}^1 f\left(\frac{x^n}{1+x}\right) dx \triangleq I_1 + I_2.$$
提示：注意分割点 $1-\varepsilon$ 的选择，$\varepsilon$ 是任意小的正数。
步骤 2/6
目标：估计 $I_2$ 的界
由于 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，故有界，设 $M = \max_{x\in[0,1]} |f(x)|$。则
$$|I_2| \le \int_{1-\varepsilon}^1 \left| f\left(\frac{x^n}{1+x}\right) \right| dx \le M \varepsilon.$$
提示：注意 $\frac{x^n}{1+x}$ 在 $[1-\varepsilon,1]$ 上取值仍在 $[0,1]$ 内，因为 $x\in[0,1]$ 时 $\frac{x^n}{1+x}\in[0,1]$。
步骤 3/6
目标：处理 $I_1$ 与 $f(0)$ 的差
将 $I_1$ 与 $f(0)$ 的差分解为
$$|I_1 - f(0)| \le \int_0^{1-\varepsilon} \left| f\left(\frac{x^n}{1+x}\right) - f(0) \right| dx + |f(0)| \varepsilon.$$
提示：注意 $\int_0^{1-\varepsilon} f(0) dx = f(0)(1-\varepsilon)$，因此 $I_1 - f(0) = \int_0^{1-\varepsilon} [f(\frac{x^n}{1+x})-f(0)] dx - f(0)\varepsilon$。
步骤 4/6
目标：证明一致收敛性
在区间 $[0,1-\varepsilon]$ 上，$\frac{x^n}{1+x} \le x^n \le (1-\varepsilon)^n$，且 $(1-\varepsilon)^n \to 0$，故 $\frac{x^n}{1+x}$ 一致收敛于 $0$。由 $f$ 的连续性，$f\left(\frac{x^n}{1+x}\right)$ 一致收敛于 $f(0)$。因此，存在 $N$，当 $n>N$ 时，对任意 $x\in[0,1-\varepsilon]$ 有 $\left| f\left(\frac{x^n}{1+x}\right) - f(0) \right| < \varepsilon$。
提示：注意一致收敛的证明需要用到 $f$ 在 $[0,1]$ 上的一致连续性。
步骤 5/6
目标：估计 $I_1$ 的极限
由一致收敛性，当 $n>N$ 时，
$$\int_0^{1-\varepsilon} \left| f\left(\frac{x^n}{1+x}\right) - f(0) \right| dx \le \varepsilon \cdot (1-\varepsilon) \le \varepsilon.$$
因此 $|I_1 - f(0)| \le \varepsilon + |f(0)| \varepsilon = (1+|f(0)|)\varepsilon$，即 $\lim_{n\to\infty} I_1 = f(0)$。
提示：注意 $\varepsilon$ 的任意性，最终极限成立。
步骤 6/6
目标：综合得到极限
由 $I_1$ 和 $I_2$ 的估计，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，
$$\left| \int_0^1 f\left(\frac{x^n}{1+x}\right) dx - f(0) \right| \le |I_1 - f(0)| + |I_2| \le (1+|f(0)|)\varepsilon + M\varepsilon = C\varepsilon,$$
其中 $C$ 为常数。由 $\varepsilon$ 的任意性，极限为 $f(0)$。
提示：注意最后一步需要说明 $\varepsilon$ 的任意性，从而极限为 $f(0)$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。