中册 4.5 与积分有关的极限 第19题

\section*{解题过程：} （1）对任意给定的 $0<\varepsilon<1$ ， $$ \int_{0}^{1} f\left(x^{n}\right) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1-\varepsilon} f\left(x^{n}\right) \mathrm{d} x+\int_{1-\varepsilon}^{1} f\left(x^{n}\right) \mathrm{d} x \triangleq I_{1}+I_{2} $$ 因为 $I_{1}=\int_{0}^{1-\varepsilon} f\left(x^{n}\right) \mathrm{d} x=f\left(\xi_{n}^{n}\right)(1-\varepsilon), 0<\xi_{n}<1-\varepsilon$ ，所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_{1}=f(0)$ ．又 $\left|I_{2}\right| \leqslant \max _{[0,1]}|f(x)| \varepsilon$ ．于是 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f\left(x^{n}\right) \mathrm{d} x=f(0)$. （2）记 $f(x)=\ln (1+x)$ ．由（1）得 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \ln \left(1+x^{n}\right) \mathrm{d} x=f(0)=0$ ． 或直接证明：对任意给定的 $0<\varepsilon<1$ ， $$ \left|\int_{0}^{1} \ln \left(1+x^{n}\right) \mathrm{d} x\right|=\left|\int_{0}^{1-\varepsilon} \ln \left(1+x^{n}\right) \mathrm{d} x+\int_{1-\varepsilon}^{1} \ln \left(1+x^{n}\right) \mathrm{d} x\right| \leqslant\left|\int_{0}^{1-\varepsilon} \ln \left(1+x^{n}\right) \mathrm{d} x\right|+\left|\int_{1-\varepsilon}^{1} \ln \left(1+x^{n}\right) \mathrm{d} x\right| \triangleq I_{1}+I_{2} . $$ 由于 $$ \left|\int_{0}^{1-\varepsilon} \ln \left(1+x^{n}\right) \mathrm{d} x\right|<\int_{0}^{1-\varepsilon} x^{n} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{1}{n+1} \rightarrow 0(n \rightarrow \infty),\left|\int_{1-\varepsilon}^{1} \ln \left(1+x^{n}\right) \mathrm{d} x\right| \leqslant \int_{1-\varepsilon}^{1} \ln \left(1+x^{n}\right) \mathrm{d} x \leqslant \varepsilon \ln 2 $$ 由 $\varepsilon$ 的任意性得 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \ln \left(1+x^{n}\right) \mathrm{d} x=0$ ． （3）记 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x}$ ，由（1）得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x^{n}} \mathrm{~d} x=f(0)=0$ ． 另证：因为 $0 \leqslant x \leqslant 1$ ，故有 $\displaystyle 0 \leqslant \frac{x^{n}}{1+x^{n}} \leqslant x^{n}$ ．于是 $$ 0 \leqslant \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x^{n}} \mathrm{~d} x \leqslant \int_{0}^{1} x^{n} \mathrm{~d} x $$ 又由于 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \mathrm{~d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1}=0$ ．因此 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x^{n}} \mathrm{~d} x=0$ ． （4）记 $f(x)=\mathrm{e}^{x}$ ．由（1）得 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x^{n}} \mathrm{~d} x=f(0)=1$ ． 另证：$\forall x \in[0,1]$ 有 $\mathrm{e}^{x^{*}} \geqslant \mathrm{e}^{0}=1$ ，所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x^{*}} \mathrm{~d} x \geqslant \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x=1$ ． 对任意的 $0<\varepsilon<1$ 有 $$ \int_{0}^{1} e^{x^{n}} d x=\int_{0}^{1-\varepsilon} e^{x^{n}} d x+\int_{1-\varepsilon}^{1} e^{x^{n}} d x \leqslant \int_{0}^{1-\varepsilon} e^{x^{n}} d x+\int_{1-\varepsilon}^{1} e d x . $$ 因 $\left\{\mathrm{e}^{x^{n}}\right\}$ 在 $[0,1-\varepsilon]$ 上一致收玫于 1 ，积分号下取极限得 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1-\varepsilon} \mathrm{e}^{x^{n}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1-\varepsilon} \lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{x^{n}} \mathrm{~d} x=1-\varepsilon$ 。从而 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x^{n}} \mathrm{~d} x \leqslant 1-\varepsilon+\mathrm{e} \varepsilon=1+(\mathrm{e}-1) \varepsilon . $$ 由 $\varepsilon$ 的任意性， $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x^{n}} \mathrm{~d} x \leqslant 1$ ． 综上， $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x^{n}} \mathrm{~d} x=1$ ． （5）记 $f(x)=\mathrm{e}^{-x}$ ，由（1）得 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x^{n}} \mathrm{~d} x=f(0)=1$ ． （6）记 $\displaystyle b=\frac{\pi}{2}, \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x^{n} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} \sin x^{n} \mathrm{~d} x+\int_{1}^{b} \sin x^{n} \mathrm{~d} x$ ． 记 $f(x)=\sin x$ ，由（1）得 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \sin x^{n} \mathrm{~d} x=\sin 0=0$ ； 令 $t=x^{n}$ ，则 $\displaystyle \int_{1}^{b} \sin x^{n} \mathrm{~d} x=\frac{1}{n} \int_{1}^{b^{n}} t^{\frac{1}{n}-1} \sin t \mathrm{~d} t$ ．由积分第二中值定理，存在 $\xi \in\left[1, b^{n}\right]$ 使得 $$ \int_{1}^{b^{n}} t^{\frac{1}{n}-1} \sin t \mathrm{~d} t=\frac{1}{n} \int_{1}^{\xi} \sin t \mathrm{~d} t $$ 于是 $\displaystyle \left|\int_{1}^{b} \sin x^{n} \mathrm{~d} x\right|=\left|\frac{1}{n} \int_{1}^{\xi} \sin t \mathrm{~d} t\right| \leqslant \frac{2}{n}$ ．从而 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{1}^{\frac{\pi}{2}} \sin x^{n} \mathrm{~d} x=0$ ． 综上所述得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x^{n} \mathrm{~d} x=0$ ．