中册 4.5 与积分有关的极限 第20题
📝 题目
20．证明下列命题．
（1）设 $f(x) \in C[0,1], f(0)=0, f(1)=1,0 \leqslant f(x)<1, x \in(0,1)$ ．求证： $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f^{n}(x) \mathrm{d} x=0$ ．（大连理
（2）设 $f(x) \in C[a, b],|f(x)|<1, x \in(a, b)$ 。求证： $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f^{n}(x) \mathrm{d} x=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）因为 $\forall \varepsilon>0$（不妨设 $0<\varepsilon<1$ ）有
$$
\int_{0}^{1} f^{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1-\varepsilon} f^{n}(x) \mathrm{d} x+\int_{1-\varepsilon}^{1} f^{n}(x) \mathrm{d} x \triangleq I_{1}+I_{2}
$$
其中 $\left|I_{2}\right| \leqslant \varepsilon \max _{[0,1]} f(x) \leqslant \varepsilon, I_{1}=\int_{0}^{1-\varepsilon} f^{n}(x) \mathrm{d} x$ 。因为 $f^{n}(x)$ 在 $(0,1)$ 内闭一致收敛，对于 $\forall \varepsilon>0$ ，当 $n$足够大时，$\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{1-\varepsilon} f^{n}(x) \mathrm{d} x<\frac{\varepsilon}{2}$ ．故 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f^{n}(x) \mathrm{d} x=0$ ．
（2）由于 $f(x) \in C[a, b]$ ，所以 $|f(x)| \in C[a, b]$ ．又已知 $\forall \varepsilon>0$（不妨设 $0<\varepsilon
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：将积分区间分割为两部分
对于任意 $\varepsilon > 0$（不妨设 $0 < \varepsilon < 1$），将积分区间 $[0,1]$ 分为 $[0,1-\varepsilon]$ 和 $[1-\varepsilon,1]$，则
$$
\int_0^1 f^n(x) \, dx = \int_0^{1-\varepsilon} f^n(x) \, dx + \int_{1-\varepsilon}^1 f^n(x) \, dx \triangleq I_1 + I_2.
$$
提示：注意 $\varepsilon$ 的选取要保证 $1-\varepsilon > 0$，且 $\varepsilon$ 可以任意小。
步骤 2/8
目标：估计第二部分积分 $I_2$
由于 $0 \leq f(x) < 1$ 在 $(0,1)$ 上，且 $f$ 连续，所以 $f(x) \leq 1$ 在 $[0,1]$ 上。因此
$$
|I_2| \leq \int_{1-\varepsilon}^1 1 \, dx = \varepsilon.
$$
提示：注意 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取值为 $1$，但区间长度仅为 $\varepsilon$，所以积分不超过 $\varepsilon$。
步骤 3/8
目标：估计第一部分积分 $I_1$
在区间 $[0,1-\varepsilon]$ 上，$f(x)$ 连续且 $f(x) < 1$，由闭区间上连续函数的性质，存在最大值 $M = \max_{x \in [0,1-\varepsilon]} f(x) < 1$。于是
$$
0 \leq I_1 \leq \int_0^{1-\varepsilon} M^n \, dx = (1-\varepsilon) M^n.
$$
由于 $0 \leq M < 1$，当 $n \to \infty$ 时 $M^n \to 0$，故对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时 $I_1 < \varepsilon$。
公式：$\lim_{n\to\infty} M^n = 0$ 当 $0 \leq M < 1$
提示：注意 $M$ 依赖于 $\varepsilon$，但 $M<1$ 保证 $M^n$ 趋于零。
步骤 4/8
目标：综合两部分得到极限为零
由以上估计，对任意 $\varepsilon > 0$，取 $N$ 足够大使得 $I_1 < \varepsilon$，则
$$
\left|\int_0^1 f^n(x) \, dx\right| \leq I_1 + I_2 < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon.
$$
由 $\varepsilon$ 的任意性，得 $\lim_{n\to\infty} \int_0^1 f^n(x) \, dx = 0$。
提示：注意 $\varepsilon$ 的任意性，最终极限为 $0$。
步骤 5/8
目标：将第二问的积分区间分割为三部分
对于任意 $\varepsilon > 0$（不妨设 $0 < \varepsilon < (b-a)/2$），将区间 $[a,b]$ 分为 $[a, a+\varepsilon]$、$[a+\varepsilon, b-\varepsilon]$ 和 $[b-\varepsilon, b]$，则
$$
\int_a^b f^n(x) \, dx = \int_a^{a+\varepsilon} f^n(x) \, dx + \int_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f^n(x) \, dx + \int_{b-\varepsilon}^b f^n(x) \, dx.
$$
提示：注意 $\varepsilon$ 要小于区间长度的一半，以保证中间区间非空。
步骤 6/8
目标：估计两端积分
由于 $|f(x)| < 1$ 在 $(a,b)$ 上，且 $f$ 连续，所以 $|f(x)| \leq 1$ 在 $[a,b]$ 上。因此
$$
\left|\int_a^{a+\varepsilon} f^n(x) \, dx\right| \leq \int_a^{a+\varepsilon} 1 \, dx = \varepsilon,
\quad
\left|\int_{b-\varepsilon}^b f^n(x) \, dx\right| \leq \varepsilon.
$$
提示：注意 $f$ 可能在端点取到 $\pm 1$，但区间长度很小，积分绝对值不超过 $\varepsilon$。
步骤 7/8
目标：估计中间积分
在闭区间 $[a+\varepsilon, b-\varepsilon]$ 上，$|f(x)|$ 连续且 $|f(x)| < 1$，故存在最大值 $M = \max_{x \in [a+\varepsilon, b-\varepsilon]} |f(x)| < 1$。于是
$$
\left|\int_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f^n(x) \, dx\right| \leq \int_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} M^n \, dx = (b-a-2\varepsilon) M^n.
$$
由于 $0 \leq M < 1$，当 $n$ 足够大时，该积分绝对值小于 $\varepsilon$。
公式：$\lim_{n\to\infty} M^n = 0$
提示：注意 $M$ 依赖于 $\varepsilon$，但 $M<1$ 保证 $M^n$ 趋于零。
步骤 8/8
目标：综合得到第二问的极限为零
由以上估计，对任意 $\varepsilon > 0$，取 $N$ 足够大使得中间积分绝对值小于 $\varepsilon$，则
$$
\left|\int_a^b f^n(x) \, dx\right| \leq \varepsilon + \varepsilon + \varepsilon = 3\varepsilon.
$$
由 $\varepsilon$ 的任意性，得 $\lim_{n\to\infty} \int_a^b f^n(x) \, dx = 0$。
提示：注意 $\varepsilon$ 的任意性，最终极限为 $0$。
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