中册 4.5 与积分有关的极限 第21题
📝 题目
21．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} x$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n-1}{2 n} \cdot \frac{2 n-3}{2(n-1)} \cdots \frac{1}{2}=0$ 。
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{\sin ^{n} x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{x} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
（7）（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin x)^{n} \mathrm{~d} x$ ，其中 $a \in(0,1)$ ；（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin x)^{n} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方法 1：$\forall \varepsilon>0$（不妨设 $\displaystyle 0<\varepsilon<\frac{\pi}{2}$ ）有
$$
0<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}-\varepsilon} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x+\int_{\frac{\pi}{2}-\varepsilon}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x \leqslant \frac{\pi}{2} \sin ^{n}\left(\frac{\pi}{2}-\varepsilon\right)+\varepsilon .
$$
因 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2} \sin ^{n}\left(\frac{\pi}{2}-\varepsilon\right)=0$ ，所以对上述 $\varepsilon>0, \exists N>0$ ，使得当 $n>N$ 时有 $\displaystyle 0 \leqslant \frac{\pi}{2} \sin ^{n}\left(\frac{\pi}{2}-\varepsilon\right)<\varepsilon$ 。因此
当 $n>N$ 时有 $\displaystyle 0<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x<2 \varepsilon$ ．所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x=0$ ．
方法 2：由于 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2 n+1} x \mathrm{~d} x=\frac{2 n}{2 n+1} \frac{2 n-2}{2 n-1} \cdots \frac{2}{3}, \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2 n} x \mathrm{~d} x=\frac{2 n-1}{2 n} \frac{2 n-3}{2(n-1)} \cdots \frac{1}{2} \frac{\pi}{2}$ ，而
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n}{2 n+1} \frac{2 n-2}{2 n-1} \cdots \frac{2}{3}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n-1}{2 n} \frac{2 n-3}{2(n-1)} \cdots \frac{1}{2} \frac{\pi}{2}=0
$$
所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x=0$ ．
（2）令 $x=\cos t$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2 n+1} x \mathrm{~d} x=0$ ．
（3）由于 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x$ ，所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x=0$ ．
（4）由于 $\displaystyle 0 \leqslant \frac{\sin ^{n} x}{1+\cos x} \leqslant \sin ^{n} x, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{\sin ^{n} x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x=0$ ．
（5）由 $\displaystyle 0 \leqslant \mathrm{e}^{x} \cos ^{n} x \leqslant \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x$ ，则 $\displaystyle 0 \leqslant \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{x} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x \leqslant \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x$ 。所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{x} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x=0$ ．
（6）记 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x \mathrm{~d} x$ ，则
$$
I_{n}+I_{n-2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x \mathrm{~d} x+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n-2} x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n-2} x \mathrm{~d}(\tan x)=\left.\frac{1}{n-1} \tan ^{n-1} x\right|_{0} ^{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{n-1}
$$
于是 $\displaystyle I_{n} \leqslant I_{n}+I_{n-2}=\frac{1}{n-1} \rightarrow 0(n \rightarrow 0)$ ．故 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x \mathrm{~d} x=0$ ．
（7）由于 $\displaystyle 0 \leqslant(1-\sin x)^{n} \leqslant(1-\sin a)^{n} \leqslant 1, x \in\left(a, \frac{\pi}{2}\right)$ ，且 $\left\{(1-\sin a)^{n}\right\}$ 在 $\displaystyle \left(a, \frac{\pi}{2}\right)$ 一致收敛于 0 ，所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin x)^{n} \mathrm{~d} x=0$ ．
$\forall \varepsilon>0$（不妨设 $\displaystyle 0<\varepsilon<\frac{\pi}{2}$ ）有
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin x)^{n} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\varepsilon}(1-\sin x)^{n} \mathrm{~d} x+\int_{\varepsilon}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin x)^{n} \mathrm{~d} x \triangleq I_{1}+I_{2}
$$
由于 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{\varepsilon}(1-\sin x)^{n} \mathrm{~d} x \leqslant \varepsilon, \lim _{n \rightarrow \infty} I_{2}=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{\varepsilon}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin x)^{n} \mathrm{~d} x=0$ ，所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin x)^{n} \mathrm{~d} x=0$ ．
（8）令 $\displaystyle t=x+\frac{\pi}{2}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} t \mathrm{~d} t=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：分析极限类型与积分性质
题目要求计算一系列积分极限，其中被积函数在积分区间内一致趋于0（除端点外），因此极限很可能为0。需要利用积分中值定理、夹逼准则或递推关系。
提示：注意区分不同区间上函数值的收敛性，端点处可能不收敛但测度为0。
步骤 2/9
目标：计算第(1)题：$\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx$
方法一：对任意$\varepsilon>0$，将积分区间分为$[0,\pi/2-\varepsilon]$和$[\pi/2-\varepsilon,\pi/2]$。第一部分被$\sin^n(\pi/2-\varepsilon)$控制，趋于0；第二部分长度$\varepsilon$。故极限为0。
方法二：利用Wallis公式，奇偶次积分乘积趋于0。
公式：$\int_0^{\pi/2}\sin^{2n}x\,dx=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac{\pi}{2}$，$\int_0^{\pi/2}\sin^{2n+1}x\,dx=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$
提示：注意Wallis公式中奇偶次积分表达式不同，且乘积趋于0。
步骤 3/9
目标：计算第(2)题：$\lim_{n\to\infty}\int_0^1(1-x^2)^n\,dx$
令$x=\cos t$，则$dx=-\sin t\,dt$，积分变为$\int_{\pi/2}^0\sin^{2n+1}t\,(-dt)=\int_0^{\pi/2}\sin^{2n+1}t\,dt$，由第(1)题知极限为0。
公式：$\int_0^1(1-x^2)^n\,dx=\int_0^{\pi/2}\sin^{2n+1}t\,dt$
提示：换元时注意积分限变化，不要忘记负号。
步骤 4/9
目标：计算第(3)题：$\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,dx$
利用对称性$\cos x=\sin(\pi/2-x)$，换元$u=\pi/2-x$得积分等于$\int_0^{\pi/2}\sin^n u\,du$，故极限为0。
公式：$\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,dx=\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx$
提示：注意换元后积分限不变。
步骤 5/9
目标：计算第(4)题：$\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{\sin^n x}{1+\cos x}\,dx$
由于$0\le\frac{\sin^n x}{1+\cos x}\le\sin^n x$，且$\int_0^1\sin^n x\,dx\le\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,dx\to0$，由夹逼准则得极限为0。
公式：夹逼准则：$0\le a_n\le b_n$且$b_n\to0$则$a_n\to0$
提示：注意积分区间$[0,1]$包含在$[0,\pi/2]$内，且$\sin x$在$[0,1]$上非负。
步骤 6/9
目标：计算第(5)题：$\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi/2}e^x\cos^n x\,dx$
由于$e^x\le e^{\pi/2}$，故$0\le\int_0^{\pi/2}e^x\cos^n x\,dx\le e^{\pi/2}\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,dx$，由第(3)题知极限为0。
公式：积分不等式：$|\int f|\le\int |f|$
提示：注意$e^x$有界，可提出最大值。
步骤 7/9
目标：计算第(6)题：$\lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi/4}\tan^n x\,dx$
记$I_n=\int_0^{\pi/4}\tan^n x\,dx$，则$I_n+I_{n-2}=\int_0^{\pi/4}\tan^{n-2}x\,d(\tan x)=\frac{1}{n-1}$。由于$I_n\ge0$，故$0\le I_n\le\frac{1}{n-1}\to0$。
公式：$\tan^2 x=\sec^2 x-1$，递推关系$I_n+I_{n-2}=\frac{1}{n-1}$
提示：注意递推公式中$n\ge2$，且$I_n$非负。
步骤 8/9
目标：计算第(7)题：$\lim_{n\to\infty}\int_a^{\pi/2}(1-\sin x)^n\,dx$和$\int_0^{\pi/2}(1-\sin x)^n\,dx$
对于$a\in(0,1)$，在$[a,\pi/2]$上$1-\sin x\le1-\sin a<1$，故被积函数一致收敛于0，极限为0。对于$[0,\pi/2]$，将区间分为$[0,\varepsilon]$和$[\varepsilon,\pi/2]$，第一部分长度$\varepsilon$，第二部分由前知趋于0，故极限为0。
公式：一致收敛性：$\sup_{x\in[a,\pi/2]}(1-\sin x)^n\to0$
提示：注意$a$是常数，$\varepsilon$任意小，需用$\varepsilon-\delta$语言。
步骤 9/9
目标：计算第(8)题：$\lim_{n\to\infty}\int_{-\pi/2}^0\cos^n x\,dx$
令$t=x+\pi/2$，则$\cos x=\cos(t-\pi/2)=\sin t$，积分变为$\int_0^{\pi/2}\sin^n t\,dt$，由第(1)题知极限为0。
公式：$\cos(x+\pi/2)=-\sin x$，但此处换元后得$\sin t$
提示：注意换元后积分限变化，且$\cos$的奇偶性。
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