中册 4.5 与积分有关的极限 第22题
📝 题目
22．计算下列极限．
（1）设 $\displaystyle I_{n}=\int_{1}^{1+\frac{1}{n}} \frac{\sqrt{1+x^{n}}}{x} \mathrm{~d} x$ ，计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} n I_{n}$ ．
（2）设 $\displaystyle I_{n}=\int_{1}^{1+\frac{1}{n}} \sqrt{1+x^{n}} \mathrm{~d} x$ ，计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_{n}$ 及 $\lim _{n \rightarrow \infty} n I_{n}$ 存在．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）令 $1+x^{n}=t^{2}$ ，则
$$
\begin{aligned}
I_{n}= & \int_{1}^{1+\frac{1}{n}} \frac{\sqrt{1+x^{n}}}{x} \mathrm{~d} x=\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{1+\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}} \frac{t}{\left(t^{2}-1\right)^{\frac{1}{n}}} \cdot \frac{1}{n}\left(t^{2}-1\right)^{\frac{1}{n}-1} 2 t \mathrm{~d} t=\frac{1}{n} \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{1+\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}} \frac{2 t^{2}}{t^{2}-1} \mathrm{~d} t . \\
\lim _{n \rightarrow \infty} n I_{n}= & 2 \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{1+\mathrm{e}}} \frac{t^{2}}{t^{2}-1} \mathrm{~d} t=2 \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{1+\mathrm{e}}}\left[1+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\right)\right] \mathrm{d} t=2(\sqrt{1+\mathrm{e}}-\sqrt{2})+\left.\ln \frac{t-1}{t+1}\right|_{\sqrt{2}} ^{\sqrt{1+\mathrm{e}}} \\
= & 2(\sqrt{1+\mathrm{e}}-\sqrt{2})+\ln \frac{\sqrt{1+\mathrm{e}}-1}{\sqrt{1+\mathrm{e}}+1}-\ln \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=2(\sqrt{1+\mathrm{e}}-\sqrt{2})+1-2 \ln (\sqrt{1+\mathrm{e}}+1)+2 \ln (\sqrt{2}+1) .
\end{aligned}
$$
（2）由于 $\displaystyle \frac{1}{n} \leqslant I_{n}=\int_{1}^{1+\frac{1}{n}} \sqrt{1+x^{n}} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{1}{n} \sqrt{1+\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}} \leqslant \frac{1}{n} \sqrt{1+3}=\frac{2}{n}$ ，所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_{n}=0$ ．
又由 $\displaystyle 1 \leqslant x \leqslant 1+\frac{1}{n}$ 得 $\displaystyle \frac{n}{n+1} \sqrt{1+x^{n}} \leqslant \frac{\sqrt{1+x^{n}}}{x} \leqslant \sqrt{1+x^{n}}$ ．从而
$$
\frac{n}{n+1} \int_{1}^{1+\frac{1}{n}} \sqrt{1+x^{n}} \mathrm{~d} x \leqslant \int_{1}^{1+\frac{1}{n}} \frac{\sqrt{1+x^{n}}}{x} \mathrm{~d} x \leqslant \int_{1}^{1+\frac{1}{n}} \sqrt{1+x^{n}} \mathrm{~d} x
$$
于是 $\displaystyle n I_{n}=n \int_{1}^{1+\frac{1}{n}} \sqrt{1+x^{n}} \mathrm{~d} x \geqslant n \int_{1}^{1+\frac{1}{n}} \frac{\sqrt{1+x^{n}}}{x} \mathrm{~d} x$ ，且 $\displaystyle n I_{n}=n \int_{1}^{1+\frac{1}{n}} \sqrt{1+x^{n}} \mathrm{~d} x \leqslant(n+1) \int_{1}^{1+\frac{1}{n}} \frac{\sqrt{1+x^{n}}}{x} \mathrm{~d} x$ ．
易知 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{1}^{1+\frac{1}{n}} \frac{\sqrt{1+x^{n}}}{x} \mathrm{~d} x=0$ ．由（1）知
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{1}^{1+\frac{1}{n}} \frac{\sqrt{1+x^{n}}}{x} \mathrm{~d} x=2(\sqrt{1+\mathrm{e}}-\sqrt{2})+1-2 \ln (\sqrt{1+\mathrm{e}}+1)+2 \ln (\sqrt{2}+1) .
$$
所以
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} n I_{n}=2(\sqrt{1+\mathrm{e}}-\sqrt{2})+1-2 \ln (\sqrt{1+\mathrm{e}}+1)+2 \ln (\sqrt{2}+1) .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：变量代换化简积分
令 $1+x^n = t^2$，则 $x = (t^2-1)^{1/n}$，$dx = \frac{1}{n}(t^2-1)^{1/n-1} \cdot 2t\, dt$。当 $x=1$ 时，$t=\sqrt{2}$；当 $x=1+\frac{1}{n}$ 时，$t=\sqrt{1+(1+\frac{1}{n})^n}$。代入得：
$$I_n = \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{1+(1+\frac{1}{n})^n}} \frac{t}{(t^2-1)^{1/n}} \cdot \frac{1}{n}(t^2-1)^{1/n-1} \cdot 2t\, dt = \frac{1}{n} \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{1+(1+\frac{1}{n})^n}} \frac{2t^2}{t^2-1}\, dt.$$
公式：换元积分法
提示：注意积分限的变换和微分的计算，确保代换正确。
步骤 2/7
目标：求极限转化为定积分
由 $\lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{n})^n = e$，故积分上限趋于 $\sqrt{1+e}$。于是
$$\lim_{n\to\infty} n I_n = 2 \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{1+e}} \frac{t^2}{t^2-1}\, dt.$$
公式：重要极限 $\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n = e$
提示：注意极限与积分交换次序的合理性。
步骤 3/7
目标：计算定积分
被积函数有理化：$\frac{t^2}{t^2-1} = 1 + \frac{1}{t^2-1} = 1 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1}\right)$。积分得：
$$2\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{1+e}} \left[1 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1}\right)\right] dt = 2(\sqrt{1+e}-\sqrt{2}) + \left.\ln\frac{t-1}{t+1}\right|_{\sqrt{2}}^{\sqrt{1+e}}.$$
公式：$\int \frac{1}{t^2-1} dt = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right| + C$
提示：注意对数运算时绝对值，此处变量大于1，可去掉绝对值。
步骤 4/7
目标：化简极限结果
代入上下限：
$$\left.\ln\frac{t-1}{t+1}\right|_{\sqrt{2}}^{\sqrt{1+e}} = \ln\frac{\sqrt{1+e}-1}{\sqrt{1+e}+1} - \ln\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}.$$
进一步化简：$\ln\frac{\sqrt{1+e}-1}{\sqrt{1+e}+1} = \ln(\sqrt{1+e}-1) - \ln(\sqrt{1+e}+1)$，$\ln\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \ln(\sqrt{2}-1) - \ln(\sqrt{2}+1)$。注意到 $\ln(\sqrt{2}-1) = -\ln(\sqrt{2}+1)$，所以
$$\lim_{n\to\infty} n I_n = 2(\sqrt{1+e}-\sqrt{2}) + 1 - 2\ln(\sqrt{1+e}+1) + 2\ln(\sqrt{2}+1).$$
公式：对数恒等式
提示：注意 $\ln(\sqrt{2}-1) = -\ln(\sqrt{2}+1)$，简化计算。
步骤 5/7
目标：估计第二问的极限
对于 $I_n = \int_1^{1+1/n} \sqrt{1+x^n}\, dx$，由于 $x \in [1, 1+1/n]$，有 $1 \le \sqrt{1+x^n} \le \sqrt{1+(1+1/n)^n} \le \sqrt{1+3}=2$（当 $n$ 充分大时）。积分区间长度为 $1/n$，故
$$\frac{1}{n} \le I_n \le \frac{2}{n}.$$
由夹逼定理得 $\lim_{n\to\infty} I_n = 0$。
公式：夹逼定理
提示：注意不等式放缩的合理性，$\sqrt{1+(1+1/n)^n} \le 2$ 需验证。
步骤 6/7
目标：建立两个积分的关系
由 $x \in [1, 1+1/n]$ 得 $\frac{1}{x} \in [\frac{n}{n+1}, 1]$，因此
$$\frac{n}{n+1} \sqrt{1+x^n} \le \frac{\sqrt{1+x^n}}{x} \le \sqrt{1+x^n}.$$
积分得
$$\frac{n}{n+1} I_n \le \int_1^{1+1/n} \frac{\sqrt{1+x^n}}{x}\, dx \le I_n.$$
从而
$$n I_n \ge n \int_1^{1+1/n} \frac{\sqrt{1+x^n}}{x}\, dx, \quad n I_n \le (n+1) \int_1^{1+1/n} \frac{\sqrt{1+x^n}}{x}\, dx.$$
公式：不等式放缩
提示：注意 $\frac{n}{n+1}$ 与 $1$ 的关系，以及积分不等式的方向。
步骤 7/7
目标：利用第一问结果求第二问极限
由第一问知 $\lim_{n\to\infty} n \int_1^{1+1/n} \frac{\sqrt{1+x^n}}{x}\, dx = L$，其中 $L = 2(\sqrt{1+e}-\sqrt{2}) + 1 - 2\ln(\sqrt{1+e}+1) + 2\ln(\sqrt{2}+1)$。又 $\lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = 1$，由夹逼定理得
$$\lim_{n\to\infty} n I_n = L.$$
公式：夹逼定理
提示：注意 $n I_n$ 被夹在 $n \int \frac{\sqrt{1+x^n}}{x}\, dx$ 和 $(n+1) \int \frac{\sqrt{1+x^n}}{x}\, dx$ 之间，两者极限相同。
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