中册 4.5 与积分有关的极限 第25题

\section*{解题过程：} 因 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，则在 $[0,1]$ 上一致连续，于是 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $x_{1}, x_{2} \in[0,1]$ ，且 $\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta$ 时，有 $\left|g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)\right|<\varepsilon$ 。 取 $\displaystyle n>\frac{1}{\delta}$ ，将区间 $[0,1] n$ 等分， $$ \begin{aligned} \int_{0}^{1} g(x) f(n x) \mathrm{d} x & =\sum_{k=0}^{n-1} \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} g(x) f(n x) \mathrm{d} x \\ & =\sum_{k=0}^{n-1} \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}\left(g(x)-g\left(\frac{k}{n}\right)\right) f(n x) \mathrm{d} x+\sum_{k=0}^{n-1} \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} g\left(\frac{k}{n}\right) f(n x) \mathrm{d} x \stackrel{\Delta}{=} I_{1}+I_{2} . \end{aligned} $$ 由于 $f(x)$ 以 1 为周期，所以 $$ \begin{aligned} \left|I_{1}\right| & \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}\left|g(x)-g\left(\frac{k}{n}\right)\right||f(n x)| \mathrm{d} x \leqslant \varepsilon \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n} \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}|f(n x)| \mathrm{d}(n x) \\ & =\varepsilon \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n} \int_{k}^{k+1}|f(t)| \mathrm{d} t=\varepsilon \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x \end{aligned} $$ 由 $\varepsilon$ 的任意性得 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_{1}=0$ ．又因为 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} I_{2}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^{n-1} g\left(\frac{k}{n}\right) \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(n x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^{n-1} g\left(\frac{k}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}=\int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x, $$ 所以 $$ \lim _{n \rightarrow x} \int_{0}^{1} g(x) f(n x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x . $$ 注：（黎曼引理的推广）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上黎曼可积，$g(x)$ 是周期为 $T$ 的周期函数，$g(x)$ 在 $[0, T]$ 上可积，则 特别地 $$ \begin{gathered} \lim _{\lambda \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) g(\lambda x) \mathrm{d} x=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} g(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x . \\ \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi}|\sin x| \mathrm{d} x \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x . \end{gathered} $$