中册 4.5 与积分有关的极限 第26题
📝 题目
26．证明下列结论．
（1）设 $f(x)$ 是区间 $[0, \pi]$ 上的连续函数，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ 。北京交大 2009）
（2）设 $f(x)$ 在 $[0,2 \pi]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $f(x)$ 为 $[0,2 \pi]$ 上的单调函数， $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2}$ ，则 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=1$ ．
（4）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b}|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi}(b-a)$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由黎曼引理的推广直接得
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi}|\sin x| \mathrm{d} x \cdot \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi}|\sin x| \mathrm{d} x \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）由（2）得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x=1$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b}|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi}|\sin x| \mathrm{d} x \int_{a}^{b} \mathrm{~d} x=\frac{2}{\pi} \int_{a}^{b} \mathrm{~d} x=\frac{2}{\pi}(b-a)$ ．
也可直接证明，以（1）为例。
由积分中值定理得
$\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1) \frac{\pi}{n}}^{k \frac{\pi}{n}} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\sum_{k=1}^{n} f\left(\xi_{k}\right) \int_{(k-1) \frac{\pi}{n}}^{k \frac{\pi}{n}}|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\xi_{k}\right)=\frac{2}{\pi} \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\xi_{k}\right)$.
所以
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用周期性和区间分割
将积分区间 $[0, \pi]$ 等分为 $n$ 个小区间，每个小区间长度为 $\frac{\pi}{n}$。由于 $|\sin nx|$ 在每个小区间上的积分相等，且 $f(x)$ 连续，可用积分中值定理在每个小区间上取一点 $\xi_k$，得到：
$$\int_0^\pi f(x)|\sin nx|\,dx = \sum_{k=1}^n \int_{(k-1)\pi/n}^{k\pi/n} f(x)|\sin nx|\,dx = \sum_{k=1}^n f(\xi_k) \int_{(k-1)\pi/n}^{k\pi/n} |\sin nx|\,dx.$$
公式：积分中值定理：$\int_a^b f(x)g(x)\,dx = f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx$
提示：注意 $|\sin nx|$ 在每个小区间上的积分相同，且 $\xi_k$ 依赖于 $n$。
步骤 2/7
目标：计算每个小区间上 $|\sin nx|$ 的积分
令 $t = nx$，则 $dx = dt/n$，积分限变为 $[(k-1)\pi, k\pi]$。由于 $|\sin t|$ 周期为 $\pi$，在每个长度为 $\pi$ 的区间上积分相等：
$$\int_{(k-1)\pi/n}^{k\pi/n} |\sin nx|\,dx = \frac{1}{n}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi} |\sin t|\,dt = \frac{1}{n} \int_0^\pi |\sin t|\,dt = \frac{2}{n}.$$
公式：$\int_0^\pi |\sin t|\,dt = 2$
提示：注意 $|\sin t|$ 在 $[0,\pi]$ 上积分为2，不要误算为 $\pi$。
步骤 3/7
目标：代入积分表达式
将每个小区间的积分值代入，得到：
$$\int_0^\pi f(x)|\sin nx|\,dx = \sum_{k=1}^n f(\xi_k) \cdot \frac{2}{n} = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^n f(\xi_k).$$
提示：注意 $\frac{2}{n} = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{n}$，为后面转化为黎曼和做准备。
步骤 4/7
目标：转化为黎曼和并取极限
注意到 $\frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^n f(\xi_k)$ 是 $f(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上的一个黎曼和，当 $n \to \infty$ 时，该黎曼和收敛到 $\int_0^\pi f(x)\,dx$。因此：
$$\lim_{n\to\infty} \int_0^\pi f(x)|\sin nx|\,dx = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x)\,dx.$$
公式：黎曼和定义：$\lim_{n\to\infty} \frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^n f(\xi_k) = \int_a^b f(x)\,dx$
提示：确保 $\xi_k$ 在小区间内，且 $f$ 连续以保证黎曼和收敛。
步骤 5/7
目标：证明（2）
对于区间 $[0,2\pi]$，类似地分割为 $2n$ 个小区间，每个长度为 $\frac{\pi}{n}$。由于 $|\sin nx|$ 在每个长度为 $\frac{\pi}{n}$ 的区间上积分仍为 $\frac{2}{n}$，类似推导可得：
$$\lim_{n\to\infty} \int_0^{2\pi} f(x)|\sin nx|\,dx = \frac{2}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x)\,dx.$$
提示：注意区间长度加倍，但每个小区间积分不变，黎曼和仍收敛。
步骤 6/7
目标：证明（3）
由（2）的结论，直接代入条件 $\int_0^{2\pi} f(x)\,dx = \frac{\pi}{2}$ 得：
$$\lim_{n\to\infty} \int_0^{2\pi} f(x)|\sin nx|\,dx = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} = 1.$$
提示：注意（3）中 $f$ 单调的条件实际上多余，因为（2）只要求连续。
步骤 7/7
目标：证明（4）
取 $f(x)=1$，则（4）是（2）的特例。或者直接计算：将 $[a,b]$ 分割成若干长度为 $\frac{\pi}{n}$ 的小区间，每个小区间上 $|\sin nx|$ 积分 $\frac{2}{n}$，总个数约为 $\frac{n(b-a)}{\pi}$，故极限为 $\frac{2}{\pi}(b-a)$。严格证明可用黎曼和：
$$\lim_{n\to\infty} \int_a^b |\sin nx|\,dx = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi |\sin x|\,dx \cdot (b-a) = \frac{2}{\pi}(b-a).$$
公式：$\int_0^\pi |\sin x|\,dx = 2$
提示：注意 $|\sin nx|$ 周期为 $\pi/n$，但积分与周期有关。
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