中册 4.5 与积分有关的极限 第27题
📝 题目
27．设 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续，且在 $x=0$ 处可导，证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} f(x)\left(\frac{1}{2}+\cos x+\cos 2 x+\cdots+\cos n x\right) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0) \text {. }
$$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
记 $\displaystyle T_{n}(x)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n} \cos k x$ ，则
$$
2 \sin \frac{x}{2} T_{n}(x)=\sin \frac{x}{2}+\left(\sin \frac{3}{2} x-\sin \frac{x}{2}\right)+\cdots+\left(\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) x-\sin \left(n-\frac{1}{2}\right) x\right)=\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) x .
$$
于是 $\displaystyle T_{n}(x)=\frac{1}{2 \sin \frac{x}{2}} \sin \left(n+\frac{1}{2}\right) x$ ．由此可得
$$
\frac{\pi}{2}=\int_{0}^{\pi} \frac{1}{2 \sin \frac{x}{2}} \sin \left(n+\frac{1}{2}\right) x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} \frac{\sin (2 n+1) u}{2 \sin u} 2 \mathrm{~d} u=\int_{0}^{\pi} \frac{\sin (2 n+1) u}{\sin u} \mathrm{~d} u
$$
$$
\begin{aligned}
& \text { 记 } S_{n}=\int_{0}^{\pi} f(x) T_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\pi} f(x) \frac{1}{2 \sin \frac{x}{2}} \sin \left(n+\frac{1}{2}\right) x \mathrm{~d} x \text {, 则 } \\
& S_{n}-\frac{\pi}{2} f(0)=\int_{0}^{\pi}(f(x)-f(0)) \frac{1}{2 \sin \frac{x}{2}} \sin \left(n+\frac{1}{2}\right) x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} \frac{f(x)-f(0)}{2 \sin \frac{x}{2}} \sin \left(n+\frac{1}{2}\right) x \mathrm{~d} x .
\end{aligned}
$$
设 $\displaystyle F(x)=\frac{f(x)-f(0)}{2 \sin \frac{x}{2}}$ ．显然 $F(x)$ 在 $(0, \pi]$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} F(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x} \frac{\frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}=f^{\prime}(0)$ ．从而 $F(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续．利用黎曼引理得
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(S_{n}-\frac{\pi}{2} f(0)\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} F(x) \sin \left(n+\frac{1}{2}\right) x \mathrm{~d} x=0
$$
故有
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} f(x)\left(\frac{1}{2}+\cos x+\cos 2 x+\cdots+\cos n x\right) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} f(0)
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简三角和函数 T_n(x)
记 $T_n(x)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos kx$。利用积化和差公式：$2\sin\frac{x}{2}\cos kx = \sin\left(k+\frac{1}{2}\right)x - \sin\left(k-\frac{1}{2}\right)x$。将 $2\sin\frac{x}{2}$ 乘以 $T_n(x)$ 得到：
$$2\sin\frac{x}{2}T_n(x)=\sin\frac{x}{2}+\sum_{k=1}^n\left[\sin\left(k+\frac{1}{2}\right)x-\sin\left(k-\frac{1}{2}\right)x\right]=\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)x.$$
因此，$T_n(x)=\frac{\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)x}{2\sin\frac{x}{2}}$。
公式：$2\sin\frac{x}{2}\cos kx = \sin\left(k+\frac{1}{2}\right)x - \sin\left(k-\frac{1}{2}\right)x$
提示：注意求和时相邻项抵消，只剩下首末两项。
步骤 2/6
目标：计算常数积分
考虑 $f(x)=1$ 时的情形，即 $\int_0^\pi T_n(x)dx$。由 $T_n(x)$ 表达式，有
$$\int_0^\pi T_n(x)dx = \int_0^\pi \frac{\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)x}{2\sin\frac{x}{2}}dx.$$
令 $u=\frac{x}{2}$，则 $x=2u$，$dx=2du$，积分限 $0$ 到 $\pi$ 变为 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$，得到
$$\int_0^\pi \frac{\sin(2n+1)u}{2\sin u}\cdot 2du = \int_0^\pi \frac{\sin(2n+1)u}{\sin u}du.$$
实际上，该积分值为 $\frac{\pi}{2}$（Dirichlet积分），即 $\int_0^\pi T_n(x)dx = \frac{\pi}{2}$。
公式：$\int_0^\pi \frac{\sin(2n+1)u}{\sin u}du = \frac{\pi}{2}$
提示：注意换元时积分限的变化，以及 $\sin\frac{x}{2}$ 在 $x=0$ 处为零，但积分收敛。
步骤 3/6
目标：构造差表达式
设 $S_n = \int_0^\pi f(x)T_n(x)dx$。则
$$S_n - \frac{\pi}{2}f(0) = \int_0^\pi f(x)T_n(x)dx - f(0)\int_0^\pi T_n(x)dx = \int_0^\pi [f(x)-f(0)]T_n(x)dx.$$
代入 $T_n(x)$ 表达式，得
$$S_n - \frac{\pi}{2}f(0) = \int_0^\pi \frac{f(x)-f(0)}{2\sin\frac{x}{2}} \sin\left(n+\frac{1}{2}\right)x dx.$$
提示：注意 $f(0)$ 是常数，可以提到积分号外，利用上一步的积分结果。
步骤 4/6
目标：定义辅助函数并分析连续性
定义 $F(x) = \frac{f(x)-f(0)}{2\sin\frac{x}{2}}$。在 $(0,\pi]$ 上，$F(x)$ 连续，因为 $f$ 连续且 $\sin\frac{x}{2}\neq0$。在 $x=0$ 处，利用 $f$ 在 $0$ 处可导，有
$$\lim_{x\to0^+}F(x) = \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}\cdot\frac{x/2}{\sin(x/2)} = f'(0)\cdot1 = f'(0).$$
因此，$F(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上连续（补充定义 $F(0)=f'(0)$）。
公式：$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$
提示：注意 $\sin\frac{x}{2}$ 在 $x=0$ 处为零，需要单独处理极限。
步骤 5/6
目标：应用黎曼引理
由黎曼引理（Riemann-Lebesgue引理）：若 $F(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上连续，则
$$\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi F(x)\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)x dx = 0.$$
因此，
$$\lim_{n\to\infty}\left(S_n - \frac{\pi}{2}f(0)\right) = \lim_{n\to\infty}\int_0^\pi F(x)\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)x dx = 0.$$
公式：黎曼引理：$\lim_{n\to\infty}\int_a^b g(x)\sin(nx)dx=0$ 若 $g$ 可积
提示：注意这里正弦函数的频率是 $n+\frac{1}{2}$，但黎曼引理对任意趋于无穷的频率都成立。
步骤 6/6
目标：得出结论
由上式得 $\lim_{n\to\infty}S_n = \frac{\pi}{2}f(0)$，即
$$\lim_{n\to\infty}\int_0^\pi f(x)\left(\frac{1}{2}+\cos x+\cdots+\cos nx\right)dx = \frac{\pi}{2}f(0).$$
证毕。
提示：注意最终结果与 $f$ 在 $0$ 处的值有关，与 $f$ 在其他点的值无关。
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