中册 4.5 与积分有关的极限 第28题
📝 题目
28．证明下列命题并求极限．
（1）设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调连续，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{+\infty} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=0$ 。
（2）设函数 $f(x)$ 在任何有限区间上可积，且 $\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收敛．证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \sin (n x) \mathrm{d} x=0 \text {. }
$$
（3）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \sin ^{2} n x \mathrm{~d} x$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）因为 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，所以存在 $N>0$ ，使得当 $x \geqslant N$ 时，$|f(x)|<1$ ．利用积分第二中值定理得
$$
\begin{aligned}
\left|\int_{N}^{A} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x\right| & =\left|f(N) \int_{N}^{\xi} \sin n x \mathrm{~d} x+f(A) \int_{\xi}^{A} \sin n x \mathrm{~d} x\right| \\
& <\left|\int_{N}^{\xi} \sin n x \mathrm{~d} x\right|+\left|\int_{\xi}^{A} \sin n x \mathrm{~d} x\right| \leqslant \frac{4}{n} \quad(\forall A>N) .
\end{aligned}
$$
因此 $\displaystyle \left|\int_{N}^{+\infty} f \sin n x \mathrm{~d} x\right| \leqslant \frac{4}{n}$ ，从而 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{N}^{+\infty} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=0$ ．
由 Riemann 引理， $\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{N} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=0$ ．因此
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{+\infty} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{N} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x+\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{N}^{+\infty} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=0 .
$$
（2）因为 $\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收玫，所以对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $A>0$ 使得
$$
\int_{A}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x<\frac{\varepsilon}{3}, \int_{-\infty}^{-4}|f(x)| \mathrm{d} x<\frac{\varepsilon}{3} .
$$
对上述 $\varepsilon>0$ 及固定的 $A>0$ ，由黎曼引理， $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-A}^{A} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=0$ ．从而存在 $N>0$ ，当 $n \geqslant N$时有 $\displaystyle \left|\int_{-A}^{A} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x\right|<\frac{\varepsilon}{3}$ ．因此
$$
\begin{aligned}
\left|\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x\right| & \leqslant\left|\int_{-\infty}^{-A} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x\right|\left|+\left|\int_{-A}^{A} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x\right|+\left|\int_{A}^{+\infty} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x\right|\right. \\
& \leqslant \int_{-\infty}^{-A}|f(x)| \mathrm{d} x+\left|\int_{-A}^{A} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x\right|+\int_{A}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon .
\end{aligned}
$$
故 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=0$ ．
（3）方法 1： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \sin ^{2} n x \mathrm{~d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \frac{1-\cos 2 n x}{2} \mathrm{~d} x$
$$
=\frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x-\frac{1}{2} \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \cos 2 n x \mathrm{~d} x .
$$
由（2）的结论得 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \cos 2 n x \mathrm{~d} x=0$ ．所以 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \sin ^{2} n x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
方法 2：记 $g(n)=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \cos 2 n x \mathrm{~d} x$ ．利用积分号下可求导的方法有：
$$
g^{\prime}(y)=\left(\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \cos 2 y x \mathrm{~d} x\right)^{\prime}=-2 y g(y) .
$$
解之得 $\displaystyle g(y)=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \mathrm{e}^{-y^{2}}$ ．于是
故
$$
\begin{gathered}
g(n)=\frac{\sqrt{\pi}}{2} \mathrm{e}^{-n^{2}}, \lim _{n \rightarrow \infty} g(n)=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \cos 2 n x \mathrm{~d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{\pi}}{2} \mathrm{e}^{-n^{2}}=0 . \\
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \sin ^{2} n x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x .
\end{gathered}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：证明(1)：利用积分第二中值定理估计无穷区间积分
由于 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$，存在 $N>0$ 使得当 $x\ge N$ 时 $|f(x)|<1$。对任意 $A>N$，由积分第二中值定理，存在 $\xi\in[N,A]$ 使得
\[
\left|\int_N^A f(x)\sin nx\,dx\right| = \left|f(N)\int_N^\xi \sin nx\,dx + f(A)\int_\xi^A \sin nx\,dx\right|
< \left|\int_N^\xi \sin nx\,dx\right| + \left|\int_\xi^A \sin nx\,dx\right| \le \frac{4}{n}.
\]
令 $A\to+\infty$ 得 $\left|\int_N^{+\infty} f(x)\sin nx\,dx\right| \le \frac{4}{n}$，故 $\lim_{n\to\infty}\int_N^{+\infty} f(x)\sin nx\,dx=0$。
公式：积分第二中值定理：$\int_a^b f(x)g(x)\,dx = f(a)\int_a^\xi g(x)\,dx + f(b)\int_\xi^b g(x)\,dx$
提示：注意 $f$ 单调连续的条件，确保积分第二中值定理适用；估计时利用 $|f(x)|<1$ 和 $\left|\int \sin nx\,dx\right|\le 2/n$。
步骤 2/8
目标：证明(1)：应用Riemann引理处理有限区间
对固定的 $N$，函数 $f(x)$ 在 $[0,N]$ 上可积（因为单调连续），由Riemann引理，$\lim_{n\to\infty}\int_0^N f(x)\sin nx\,dx=0$。
公式：Riemann引理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $\lim_{n\to\infty}\int_a^b f(x)\sin nx\,dx=0$。
提示：Riemann引理要求 $f$ 可积，这里 $f$ 连续故可积。
步骤 3/8
目标：证明(1)：合并极限得结论
将积分拆分为 $[0,N]$ 和 $[N,+\infty)$ 两部分，由前两步得
\[
\lim_{n\to\infty}\int_0^{+\infty} f(x)\sin nx\,dx = \lim_{n\to\infty}\int_0^N f(x)\sin nx\,dx + \lim_{n\to\infty}\int_N^{+\infty} f(x)\sin nx\,dx = 0+0=0.
\]
提示：注意极限的加法性质，需确保两个极限都存在。
步骤 4/8
目标：证明(2)：利用绝对可积性截断积分
由于 $\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|\,dx$ 收敛，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $A>0$ 使得
\[
\int_A^{+\infty}|f(x)|\,dx < \frac{\varepsilon}{3},\quad \int_{-\infty}^{-A}|f(x)|\,dx < \frac{\varepsilon}{3}.
\]
公式：无穷积分收敛的定义：$\lim_{A\to+\infty}\int_A^{+\infty}|f(x)|\,dx=0$
提示：注意对称性，左右两端都要截断。
步骤 5/8
目标：证明(2)：对有限区间应用Riemann引理
对固定的 $A$，$f$ 在 $[-A,A]$ 上可积，由Riemann引理，$\lim_{n\to\infty}\int_{-A}^A f(x)\sin nx\,dx=0$。故存在 $N$，当 $n\ge N$ 时 $\left|\int_{-A}^A f(x)\sin nx\,dx\right|<\frac{\varepsilon}{3}$。
公式：Riemann引理
提示：注意 $f$ 在有限区间上可积的条件已由题目给出。
步骤 6/8
目标：证明(2)：合并估计得极限为零
将积分拆分为三部分，并利用三角不等式：
\[
\left|\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\sin nx\,dx\right| \le \int_{-\infty}^{-A}|f(x)|\,dx + \left|\int_{-A}^A f(x)\sin nx\,dx\right| + \int_A^{+\infty}|f(x)|\,dx < \frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon.
\]
由 $\varepsilon$ 的任意性得极限为0。
提示：注意 $|\sin nx|\le 1$，故 $|f(x)\sin nx|\le |f(x)|$。
步骤 7/8
目标：求极限(3)：利用三角恒等式化简
由 $\sin^2 nx = \frac{1-\cos 2nx}{2}$，得
\[
\int_0^{+\infty} e^{-x^2}\sin^2 nx\,dx = \frac12\int_0^{+\infty} e^{-x^2}\,dx - \frac12\int_0^{+\infty} e^{-x^2}\cos 2nx\,dx.
\]
公式：$\sin^2\theta = \frac{1-\cos2\theta}{2}$
提示：注意积分区间为 $[0,+\infty)$，$e^{-x^2}$ 是偶函数，但这里只从0开始。
步骤 8/8
目标：求极限(3)：应用(2)的结论或直接计算
函数 $f(x)=e^{-x^2}$ 满足 $\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|\,dx$ 收敛（高斯积分），且 $\cos 2nx$ 可视为 $\sin$ 的平移，由(2)的结论知 $\lim_{n\to\infty}\int_0^{+\infty} e^{-x^2}\cos 2nx\,dx=0$（注意 $\cos$ 与 $\sin$ 类似）。因此
\[
\lim_{n\to\infty}\int_0^{+\infty} e^{-x^2}\sin^2 nx\,dx = \frac12\int_0^{+\infty} e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{4}.
\]
公式：$\int_0^{+\infty} e^{-x^2}\,dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$
提示：注意(2)的结论对 $\cos$ 同样成立；也可用微分方程方法直接求 $\int_0^{+\infty} e^{-x^2}\cos 2nx\,dx$ 的极限。
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