中册 4.5 与积分有关的极限 第29题
📝 题目
29．证明下列命题．
（1）若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则存在折线函数 $\left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 使得 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。西安交大2003，重庆师大2006）
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，$\varphi(x)$ 在 $[a, b+d]$ 上可积，求证：
$$
\lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} \int_{a}^{b} f(x) \varphi(x+\delta) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \varphi(x) \mathrm{d} x . }
$$
（3）设 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上一连续函数列，满足：存在常数 $M$ ，使得对于任意 $f_{n}(x)$ 和 $x \in(-\infty,+\infty)$ ，恒有 $\left|f_{n}(x)\right| \leqslant M$ 。假定对 $(-\infty,+\infty)$ 中任意区间 $[a, b]$ 都有 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=0$ 。证明：对任意区间 $[c, d] \subset(-\infty,+\infty)$ 以及 $[c, d]$ 上绝对可积函数 $h(x)$ ，恒有 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{c}^{d} f_{n}(x) h(x) \mathrm{d} x=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积知，$\forall n>0$ ，存在 $[a, b]$ 的一个分割 $T_{n}: a=x_{0}0$ ，存在 $[a, b]$ 的一个分割 $T: a=x_{0}0$ ，存在阶梯函数 $g(x)$使得 $\int_{c}^{d}|g(x)-h(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon$ ．由题设条件可知 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{c}^{d} f_{n}(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ．于是
$$
\begin{aligned}
\left|\int_{c}^{d} f_{n}(x) h(x) \mathrm{d} x\right| & \leqslant\left|\int_{c}^{d} f_{n}(x)(h(x)-g(x)) \mathrm{d} x\right|+\left|\int_{c}^{d} f_{n}(x) g(x) \mathrm{d} x\right| \\
& \leqslant M \int_{c}^{d}|h(x)-g(x)| \mathrm{d} x+\left|\int_{c}^{d} f_{n}(x) g(x) \mathrm{d} x\right|
\end{aligned}
$$
所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{c}^{d} f_{n}(x) h(x) \mathrm{d} x=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：构造折线函数并估计误差
由 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，对任意 $n\in\mathbb{N}^+$，存在分割 $T_n: a=x_0
提示：注意折线函数在分点处取值为 $f(x_i)$，保证连续性。
步骤 2/8
目标：积分逼近
计算积分差：
$$
\int_a^b |f(x)-\varphi_n(x)|\,dx = \sum_{i=0}^{k_n-1}\int_{x_i}^{x_{i+1}}|f(x)-\varphi_n(x)|\,dx \leq \sum_{i=0}^{k_n-1}(M_i-m_i)(x_{i+1}-x_i)=S(T_n)-s(T_n)<\frac{1}{n}.
$$
因此 $\lim_{n\to\infty}\int_a^b|f(x)-\varphi_n(x)|\,dx=0$，从而 $\lim_{n\to\infty}\int_a^b\varphi_n(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx$。
公式：$$\int_a^b |f-\varphi_n| \leq S(T_n)-s(T_n)$$
提示：注意绝对值积分不等式：$|\int f-\int \varphi_n|\leq \int |f-\varphi_n|$。
步骤 3/8
目标：用连续函数逼近可积函数
对 $\varphi(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，$\forall\varepsilon>0$，存在分割 $T: a=x_0
公式：$$\int_a^b|\varphi-g|\leq\sum\omega_i\Delta x_i<\varepsilon$$
提示：注意 $g$ 是连续函数，且 $\varphi(x+\delta)$ 在 $[a,b]$ 上可积需 $\delta$ 足够小以保证定义域。
步骤 4/8
目标：利用一致连续性估计平移差
由于 $g$ 在 $[a,b]$ 上连续，从而一致连续，存在 $\delta_0>0$，当 $|\delta|<\delta_0$ 时，$|g(x+\delta)-g(x)|<\frac{\varepsilon}{b-a}$ 对一切 $x\in[a,b]$ 成立。于是
$$
\left|\int_a^b(g(x+\delta)-g(x))\,dx\right|\leq \int_a^b|g(x+\delta)-g(x)|\,dx < \varepsilon.
$$
结合上一步，有
$$
\left|\int_a^b(\varphi(x+\delta)-\varphi(x))\,dx\right| \leq \left|\int_a^b(\varphi(x+\delta)-g(x+\delta))\,dx\right| + \left|\int_a^b(g(x+\delta)-g(x))\,dx\right| + \left|\int_a^b(\varphi(x)-g(x))\,dx\right| < 3\varepsilon.
$$
公式：$$\left|\int(\varphi_\delta-\varphi)\right| < 3\varepsilon$$
提示：注意三角不等式的应用，以及一致连续性的条件。
步骤 5/8
目标：完成第二问证明
由于 $f$ 可积，存在 $M>0$ 使得 $|f(x)|\leq M$ 于 $[a,b]$。则
$$
\left|\int_a^b f(x)\varphi(x+\delta)\,dx - \int_a^b f(x)\varphi(x)\,dx\right| = \left|\int_a^b f(x)(\varphi(x+\delta)-\varphi(x))\,dx\right| \leq M \left|\int_a^b(\varphi(x+\delta)-\varphi(x))\,dx\right| < 3M\varepsilon.
$$
由 $\varepsilon$ 任意性，$\lim_{\delta\to0^+}\int_a^b f(x)\varphi(x+\delta)\,dx = \int_a^b f(x)\varphi(x)\,dx$。
公式：$$\left|\int f(\varphi_\delta-\varphi)\right| \leq M\left|\int(\varphi_\delta-\varphi)\right|$$
提示：注意 $f$ 有界，但 $\varphi$ 不一定有界，不过 $\varphi$ 可积则必有界，故 $M$ 可取为 $\sup|f|$。
步骤 6/8
目标：用阶梯函数逼近绝对可积函数
固定区间 $[c,d]$，$h(x)$ 在 $[c,d]$ 上绝对可积。对任意 $\varepsilon>0$，存在阶梯函数 $g(x)$ 使得 $\int_c^d |h(x)-g(x)|\,dx < \varepsilon$。阶梯函数可表示为 $g(x)=\sum_{j=1}^m c_j \chi_{[a_j,b_j]}(x)$，其中 $\chi$ 为特征函数。
提示：绝对可积函数可用阶梯函数在 $L^1$ 范数下逼近，这是实变函数中的结论。
步骤 7/8
目标：利用已知条件处理阶梯函数
由题设，对任意区间 $[a,b]$ 有 $\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x)\,dx=0$。对阶梯函数 $g$，其积分可分解为有限个区间上的积分之和，故 $\lim_{n\to\infty}\int_c^d f_n(x)g(x)\,dx=0$。于是存在 $N$，当 $n>N$ 时，$\left|\int_c^d f_n g\right|<\varepsilon$。
公式：$$\lim_{n\to\infty}\int_c^d f_n g = 0$$
提示：注意阶梯函数是有限个特征函数的线性组合，利用极限的线性性质。
步骤 8/8
目标：完成第三问证明
由于 $|f_n(x)|\leq M$，有
$$
\left|\int_c^d f_n h\right| \leq \left|\int_c^d f_n (h-g)\right| + \left|\int_c^d f_n g\right| \leq M\int_c^d |h-g| + \left|\int_c^d f_n g\right| < M\varepsilon + \varepsilon = (M+1)\varepsilon.
$$
由 $\varepsilon$ 任意性，$\lim_{n\to\infty}\int_c^d f_n(x)h(x)\,dx=0$。
公式：$$\left|\int f_n h\right| \leq M\int|h-g| + \left|\int f_n g\right|$$
提示：注意 $h$ 绝对可积保证 $\int|h-g|$ 可任意小，而 $f_n$ 一致有界是关键。
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