中册 4.5 与积分有关的极限 第30题
📝 题目
30．设 $f(x)$ 为 $[0,+\infty)$ 上非负连续函数，且 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{n} x f(x) \mathrm{d} x=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
因 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，$f(x)$ 非负，由柯西收玫准则，$\forall \varepsilon>0, \exists A>0$ ，当 $n>A$ 时有
$$
\int_{A}^{n} f(x) \mathrm{d} x<\frac{\varepsilon}{2} .
$$
由积分中值定理得
$$
\frac{1}{n} \int_{A}^{n} x f(x) \mathrm{d} x=\frac{\xi}{n} \int_{A}^{n} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{A}^{n} f(x) \mathrm{d} x<\frac{\varepsilon}{2} \text {, 其中 } a<\xi\frac{2 M A}{\varepsilon}$ 时，
$$
\begin{aligned}
0 \leqslant \frac{1}{n} \int_{0}^{n} x f(x) \mathrm{d} x & =\frac{1}{n} \int_{0}^{A} x f(x) \mathrm{d} x+\frac{1}{n} \int_{A}^{n} x f(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{1}{n} \int_{0}^{A} M \mathrm{~d} x+\frac{1}{n} \int_{A}^{n} x f(x) \mathrm{d} x \\
& \leqslant \frac{M A}{n}+\frac{1}{n} \int_{A}^{n} x f(x) \mathrm{d} x<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{1}{n} \int_{A}^{n} x f(x) \mathrm{d} x<\varepsilon .
\end{aligned}
$$
故 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{n} x f(x) \mathrm{d} x=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用柯西收敛准则估计无穷远部分的积分
由于 $\int_0^{+\infty} f(x) dx$ 收敛且 $f(x) \geq 0$，由柯西收敛准则，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $A > 0$，使得当 $n > A$ 时，有 $\int_A^n f(x) dx < \frac{\varepsilon}{2}$。
公式：柯西收敛准则：$\forall \varepsilon>0, \exists A>0, \forall n>A: \int_A^n f(x) dx < \varepsilon$
提示：注意 $f(x)$ 非负，所以积分值非负，且收敛意味着无穷远部分积分可以任意小。
步骤 2/5
目标：估计区间 $[A, n]$ 上的 $\frac{1}{n} \int_A^n x f(x) dx$
由积分中值定理，存在 $\xi \in [A, n]$ 使得 $\int_A^n x f(x) dx = \xi \int_A^n f(x) dx$。因此 $\frac{1}{n} \int_A^n x f(x) dx = \frac{\xi}{n} \int_A^n f(x) dx \leq \int_A^n f(x) dx < \frac{\varepsilon}{2}$，因为 $\xi \leq n$。
公式：积分中值定理：$\int_a^b x f(x) dx = \xi \int_a^b f(x) dx$，其中 $\xi \in [a,b]$
提示：注意 $\xi \leq n$，所以 $\frac{\xi}{n} \leq 1$，从而放缩成立。
步骤 3/5
目标：估计区间 $[0, A]$ 上的 $\frac{1}{n} \int_0^A x f(x) dx$
由于 $x f(x)$ 在闭区间 $[0, A]$ 上连续，故有界，设 $|x f(x)| \leq M$。则 $\frac{1}{n} \int_0^A x f(x) dx \leq \frac{1}{n} \int_0^A M dx = \frac{MA}{n}$。
公式：连续函数在闭区间上有界
提示：注意 $f(x)$ 非负，所以 $x f(x) \geq 0$，绝对值可去掉。
步骤 4/5
目标：合并两部分估计，并取 $n$ 充分大
对任意 $\varepsilon > 0$，取 $A$ 如上，并取 $n > \max\{A, \frac{2MA}{\varepsilon}\}$。则 $\frac{MA}{n} < \frac{\varepsilon}{2}$，且 $\frac{1}{n} \int_A^n x f(x) dx < \frac{\varepsilon}{2}$。因此 $\frac{1}{n} \int_0^n x f(x) dx = \frac{1}{n} \int_0^A x f(x) dx + \frac{1}{n} \int_A^n x f(x) dx < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$。
公式：三角不等式
提示：注意 $n$ 必须同时大于 $A$ 和 $\frac{2MA}{\varepsilon}$。
步骤 5/5
目标：由极限定义得出结论
由 $\varepsilon$ 的任意性，$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \int_0^n x f(x) dx = 0$。
公式：极限定义
提示：注意 $\frac{1}{n} \int_0^n x f(x) dx \geq 0$，所以极限为0。
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