中册 5.1 反常积分计算 第4题
📝 题目
4．求证： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{\alpha}\right)}=\frac{\pi}{4}$ ，其中 $\alpha$ 为任意实数。武汉大学 2013，扬州大学 2009，山东科技 2009 ，中科院 2004 ，中科大 2004 ，宁波大学 2010 ，湖南师大 2008 ，温州大学 2010 ）
💡 答案解析
解题过程：
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{a}\right)}=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{a}\right)}+\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{a}\right)} .
$$
令 $\displaystyle x=\frac{1}{t}$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{\alpha}\right)}=\int_{+\infty}^{1} \frac{-\frac{1}{t^{2}} \mathrm{~d} t}{\left(1+\frac{1}{t^{2}}\right)\left(1+\frac{1}{t^{\alpha}}\right)}=\int_{1}^{+\infty} \frac{t^{\alpha} \mathrm{d} t}{\left(1+t^{2}\right)\left(1+t^{\alpha}\right)}$ ．于是
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{\alpha}\right)}=\int_{1}^{+\infty} \frac{t^{\alpha} \mathrm{d} t}{\left(1+t^{2}\right)\left(1+t^{\alpha}\right)}+\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{\left(1+t^{2}\right)\left(1+t^{\alpha}\right)}=\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} t}{1+t^{2}}=\left.\arctan t\right|_{1} ^{+\infty}=\frac{\pi}{4} .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：拆分积分区间
将积分拆分为 $[0,1]$ 和 $[1,+\infty)$ 两部分：
$$\int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{(1+x^2)(1+x^\alpha)} = \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+x^2)(1+x^\alpha)} + \int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{(1+x^2)(1+x^\alpha)}.$$
提示：注意积分限的拆分要正确，确保覆盖整个区间。
步骤 2/5
目标：对第一个积分进行变量代换
令 $x = \frac{1}{t}$，则 $dx = -\frac{1}{t^2} dt$，当 $x=0$ 时 $t=+\infty$，当 $x=1$ 时 $t=1$。代入得：
$$\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+x^2)(1+x^\alpha)} = \int_{+\infty}^{1} \frac{-\frac{1}{t^2} dt}{(1+\frac{1}{t^2})(1+\frac{1}{t^\alpha})} = \int_{1}^{+\infty} \frac{t^\alpha dt}{(1+t^2)(1+t^\alpha)}.$$
公式：变量代换 $x = 1/t$
提示：注意积分限的变化：$x=0$ 对应 $t=+\infty$，$x=1$ 对应 $t=1$，交换上下限后负号消失。
步骤 3/5
目标：合并两个积分
将代换后的第一个积分与第二个积分相加：
$$\int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{(1+x^2)(1+x^\alpha)} = \int_{1}^{+\infty} \frac{t^\alpha dt}{(1+t^2)(1+t^\alpha)} + \int_{1}^{+\infty} \frac{dt}{(1+t^2)(1+t^\alpha)} = \int_{1}^{+\infty} \frac{t^\alpha + 1}{(1+t^2)(1+t^\alpha)} dt.$$
提示：注意两个积分的被积函数分母相同，分子相加。
步骤 4/5
目标：简化被积函数
注意到 $\frac{t^\alpha + 1}{(1+t^2)(1+t^\alpha)} = \frac{1}{1+t^2}$，因为分子分母约去 $1+t^\alpha$。因此：
$$\int_{0}^{+\infty} \frac{dx}{(1+x^2)(1+x^\alpha)} = \int_{1}^{+\infty} \frac{dt}{1+t^2}.$$
公式：$\frac{t^\alpha+1}{(1+t^2)(1+t^\alpha)} = \frac{1}{1+t^2}$
提示：确保 $1+t^\alpha \neq 0$，但 $t\ge 1$ 时 $1+t^\alpha > 0$，恒成立。
步骤 5/5
目标：计算定积分
计算 $\int_{1}^{+\infty} \frac{dt}{1+t^2} = \lim_{b \to +\infty} \arctan t \big|_{1}^{b} = \lim_{b \to +\infty} (\arctan b - \arctan 1) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}.$
公式：$\int \frac{dt}{1+t^2} = \arctan t + C$
提示：注意 $\arctan(+\infty) = \pi/2$，$\arctan(1) = \pi/4$。
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