中册 5.1 反常积分计算 第5题
📝 题目
5．计算下列积分．
（1）$\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{x^{2}+a^{2}} \mathrm{dx}(a>0)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）解题分析：该积分既是无穷积分又是理积分，应先将其分成这两种积分后再讨论．
方法 $\displaystyle 1: I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x+\int_{1}^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
令 $\displaystyle x=\frac{1}{t}$ ，则 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=\int_{1}^{0} \frac{-\ln t}{1+\frac{1}{t^{2}}}\left(-\frac{1}{t^{2}}\right) \mathrm{d} t=\int_{1}^{0} \frac{\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ 。所以
$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x+\int_{1}^{0} \frac{\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=0 .
$$
方法 2：令 $\displaystyle x=\frac{1}{t}$ ，则 $\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=\int_{+\infty}^{0} \frac{-\ln t}{1+\frac{1}{t^{2}}}\left(-\frac{1}{t^{2}}\right) \mathrm{d} t=-\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=-I$ ．所以 $I=0$ ．
方法 3：令 $t=\arctan x$ ，则
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{+\infty} \ln x \mathrm{~d}(\arctan x)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\tan t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\cos t) \mathrm{d} t
$$
令 $\displaystyle t=\frac{\pi}{2}-s$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\cos t) \mathrm{d} t=\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \ln \cos \left(\frac{\pi}{2}-s\right) \mathrm{d}\left(\frac{\pi}{2}-s\right)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin s \mathrm{~d} s$ 。于是
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin s \mathrm{~d} s=0
$$
（2）令 $\displaystyle y=\frac{x}{a}$ ，可转化为（1）的形式。具体如下：
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{x^{2}+a^{2}} \mathrm{~d} x=a \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln a+\ln y}{\left(y^{2}+1\right) a^{2}} \mathrm{~d} y=\frac{\ln a}{a} \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{y^{2}+1} \mathrm{~d} y+\frac{1}{a} \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln y}{y^{2}+1} \mathrm{~d} y=\frac{\pi \ln a}{2 a}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将积分拆分为两部分
将积分拆分为从0到1和从1到+∞两部分：
$$I = \int_0^1 \frac{\ln x}{1+x^2} dx + \int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^2} dx$$
提示：注意积分限的拆分，确保每个积分都收敛。
步骤 2/5
目标：对第二部分进行变量代换
令 $x = \frac{1}{t}$，则 $dx = -\frac{1}{t^2} dt$，当 $x=1$ 时 $t=1$，当 $x\to +\infty$ 时 $t\to 0^+$。代入得：
$$\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^2} dx = \int_1^0 \frac{\ln(1/t)}{1+1/t^2} \left(-\frac{1}{t^2}\right) dt = \int_0^1 \frac{-\ln t}{t^2+1} dt = -\int_0^1 \frac{\ln t}{1+t^2} dt$$
公式：变量代换 $x = 1/t$
提示：注意积分限的变化和负号的处理。
步骤 3/5
目标：合并两部分得到结果
将第二部分结果代入原积分：
$$I = \int_0^1 \frac{\ln x}{1+x^2} dx - \int_0^1 \frac{\ln x}{1+x^2} dx = 0$$
提示：注意积分变量名称可任意，合并后抵消。
步骤 4/5
目标：第二问：变量代换化为第一问形式
令 $y = \frac{x}{a}$，则 $x = a y$，$dx = a dy$，积分限不变。代入得：
$$\int_0^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2 + a^2} dx = \int_0^{+\infty} \frac{\ln(a y)}{a^2 y^2 + a^2} a dy = \frac{1}{a} \int_0^{+\infty} \frac{\ln a + \ln y}{y^2 + 1} dy$$
公式：变量代换 $y = x/a$
提示：注意分母提取公因子 $a^2$。
步骤 5/5
目标：拆分积分并计算
将积分拆分为两部分：
$$\frac{1}{a} \int_0^{+\infty} \frac{\ln a}{y^2+1} dy + \frac{1}{a} \int_0^{+\infty} \frac{\ln y}{y^2+1} dy = \frac{\ln a}{a} \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{1}{a} \cdot 0 = \frac{\pi \ln a}{2a}$$
公式：$\int_0^{+\infty} \frac{1}{1+y^2} dy = \frac{\pi}{2}$，第一问结果 $\int_0^{+\infty} \frac{\ln y}{1+y^2} dy = 0$
提示：注意第一问的积分值为0，直接使用。
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