中册 5.1 反常积分计算 第6题
📝 题目
6．证明： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos x \mathrm{~d} x=-\frac{\pi}{2} \ln 2$ ，并求下列积分：
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\tan x) \mathrm{d} x$ ；（2） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
0 是 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \mathrm{~d} x$ 的㻦点，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\frac{1}{2}} \ln \sin x=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\frac{1}{2}} \ln x=0$ ．故当 $\displaystyle p=\frac{1}{2}<1$ ，积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \mathrm{~d} x$ 收玫。
同理可得 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos x \mathrm{~d} x$ 收玫。
令 $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}-t$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos x \mathrm{~d} x=\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \ln \cos \left(\frac{\pi}{2}-t\right) \mathrm{d}\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin t \mathrm{~d} t=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \mathrm{~d} x$ ．
设 $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \mathrm{~d} x$ ，则
$$
\begin{aligned}
2 I & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos x \mathrm{~d} x+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left(\frac{1}{2} \sin 2 x\right) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin 2 x \mathrm{~d}(2 x)-\frac{\pi}{2} \ln 2 \\
& =\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \ln \sin x \mathrm{~d} x-\frac{\pi}{2} \ln 2=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \mathrm{~d} x+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \ln \sin x \mathrm{~d} x\right)-\frac{\pi}{2} \ln 2=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \mathrm{~d} x-\frac{\pi}{2} \ln 2
\end{aligned}
$$
由此得 $\displaystyle I=-\frac{\pi}{2} \ln 2$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\tan x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin x) \mathrm{d} x-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\cos ) \mathrm{d} x=0$ ．
另解：令 $\tan \theta=x$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\tan \theta) \mathrm{d} \theta=\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=0$（由题 5（1）结论）．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^{2}\left(-\frac{\cos x}{\sin x}\right)^{\prime} \mathrm{d} x=\left.\left(-x^{2} \frac{\cos x}{\sin x}\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 x \frac{\cos x}{\sin x} \mathrm{~d} x=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x(\ln \sin x)^{\prime} \mathrm{d} x$
$$
=\left.2(x \ln \sin x)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}-2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \mathrm{~d} x=-2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \mathrm{~d} x .
$$
由 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \mathrm{~d} x=-\frac{\pi}{2} \ln 2$ 得 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}}{\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x=\pi \ln 2$ ，
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明积分收敛性
首先证明积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \, dx$ 收敛。由于 $x=0$ 是瑕点，考虑极限 $\lim_{x \to 0^+} x^{\frac{1}{2}} \ln \sin x = \lim_{x \to 0^+} x^{\frac{1}{2}} \ln x = 0$，因此当 $p=\frac{1}{2}<1$ 时，积分收敛。同理，$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos x \, dx$ 也收敛。
公式：$\lim_{x \to 0^+} x^{\frac{1}{2}} \ln \sin x = 0$
提示：注意瑕点 $x=0$ 的处理，使用比较判别法时选择合适的 $p$。
步骤 2/7
目标：证明两个积分相等
令 $x = \frac{\pi}{2} - t$，则 $dx = -dt$，积分限变为 $t$ 从 $\frac{\pi}{2}$ 到 $0$，因此
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos x \, dx = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \ln \cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right) (-dt) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin t \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \, dx.$$
公式：$\cos(\frac{\pi}{2}-t)=\sin t$
提示：注意换元时积分限的变化，以及负号的处理。
步骤 3/7
目标：计算积分值
设 $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \, dx$，则
$$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \, dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x \cos x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right) \, dx$$
$$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin 2x \, dx - \frac{\pi}{2}\ln 2.$$
令 $u=2x$，则 $dx = du/2$，积分限 $u$ 从 $0$ 到 $\pi$，得
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin 2x \, dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} \ln \sin u \, du = \frac{1}{2}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin u \, du + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \ln \sin u \, du\right).$$
对第二个积分令 $v = \pi - u$，可得 $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \ln \sin u \, du = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin v \, dv = I$，因此
$$\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} \ln \sin u \, du = \frac{1}{2}(I+I)=I.$$
代入得 $2I = I - \frac{\pi}{2}\ln 2$，解得 $I = -\frac{\pi}{2}\ln 2$。
公式：$\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$
提示：注意 $\int_{0}^{\pi} \ln \sin u \, du$ 的拆分，以及对称性。
步骤 4/7
目标：求积分 (1)
利用已证结果，
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\tan x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \, dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos x \, dx = -\frac{\pi}{2}\ln 2 - \left(-\frac{\pi}{2}\ln 2\right) = 0.$$
公式：$\ln(\tan x) = \ln \sin x - \ln \cos x$
提示：注意两个积分相等，所以差为0。
步骤 5/7
目标：求积分 (2) 分部积分
计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2}{\sin^2 x} \, dx$。注意到 $\left(-\frac{\cos x}{\sin x}\right)' = \frac{1}{\sin^2 x}$，因此
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2}{\sin^2 x} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \, d\left(-\frac{\cos x}{\sin x}\right) = \left. -x^2 \frac{\cos x}{\sin x} \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2x \frac{\cos x}{\sin x} \, dx.$$
在 $x=0$ 处，$\lim_{x\to 0^+} x^2 \frac{\cos x}{\sin x} = \lim_{x\to 0^+} x^2 \cdot \frac{1}{x} = 0$；在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处，$\cos(\pi/2)=0$，所以第一项为0。于是
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2}{\sin^2 x} \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \frac{\cos x}{\sin x} \, dx.$$
公式：$\left(-\frac{\cos x}{\sin x}\right)' = \frac{1}{\sin^2 x}$
提示：注意 $x=0$ 处的极限处理，以及 $\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$。
步骤 6/7
目标：继续分部积分
注意到 $(\ln \sin x)' = \frac{\cos x}{\sin x}$，因此
$$2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \frac{\cos x}{\sin x} \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \, d(\ln \sin x) = 2\left( \left. x \ln \sin x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \, dx \right).$$
在 $x=0$ 处，$\lim_{x\to 0^+} x \ln \sin x = \lim_{x\to 0^+} x \ln x = 0$；在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处，$\ln \sin(\pi/2) = \ln 1 = 0$，所以第一项为0。于是
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2}{\sin^2 x} \, dx = -2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \, dx.$$
公式：$(\ln \sin x)' = \cot x$
提示：注意 $x=0$ 处的极限，以及 $\ln \sin x$ 在 $x=0$ 处发散但乘以 $x$ 后极限为0。
步骤 7/7
目标：代入已知结果
由前面证明 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \, dx = -\frac{\pi}{2}\ln 2$，代入得
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^2}{\sin^2 x} \, dx = -2 \left(-\frac{\pi}{2}\ln 2\right) = \pi \ln 2.$$
提示：注意负号的处理。
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