中册 5.1 反常积分计算 第11题
📝 题目
11．计算积分 $I=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{dx}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
方法 1：设 $D: 0 \leqslant x<+\infty, 0 \leqslant y<+\infty$ ，则
$$
I^{2}=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x \cdot \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y=\iint_{D} \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{+\infty} r \mathrm{e}^{-r^{2}} \mathrm{~d} r=\frac{\pi}{4}
$$
故 $\displaystyle I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ．
方法 2（用 $\Gamma$ 函数）：设 $t=x^{2}$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} t^{-\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{-t} \mathrm{~d} t=\frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入平方技巧
设 $I = \int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} dx$，则 $I^2 = \left(\int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} dx\right) \left(\int_{0}^{+\infty} e^{-y^2} dy\right) = \iint_{D} e^{-x^2-y^2} dx dy$，其中 $D$ 是第一象限：$0 \leq x < +\infty, 0 \leq y < +\infty$。
公式：$I^2 = \iint_{D} e^{-x^2-y^2} dx dy$
提示：注意积分区域是无穷区域，但收敛性成立。
步骤 2/6
目标：转换为极坐标
在极坐标下，$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，$dxdy = r dr d\theta$。积分区域 $D$ 对应 $0 \leq r < +\infty$, $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$。被积函数 $e^{-x^2-y^2} = e^{-r^2}$。因此 $I^2 = \int_{0}^{\pi/2} d\theta \int_{0}^{+\infty} r e^{-r^2} dr$。
公式：$\iint_D f(x,y) dxdy = \int_{\theta_1}^{\theta_2} d\theta \int_{r_1}^{r_2} f(r\cos\theta, r\sin\theta) r dr$
提示：极坐标变换时不要忘记雅可比行列式 $r$。
步骤 3/6
目标：计算极坐标积分
先对 $r$ 积分：$\int_{0}^{+\infty} r e^{-r^2} dr$。令 $u = r^2$，则 $du = 2r dr$，$r dr = \frac{1}{2} du$，积分限 $u$ 从 $0$ 到 $+\infty$，得 $\int_{0}^{+\infty} r e^{-r^2} dr = \frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} e^{-u} du = \frac{1}{2}$。再对 $\theta$ 积分：$\int_{0}^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2}$。所以 $I^2 = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{4}$。
公式：$\int_{0}^{+\infty} r e^{-r^2} dr = \frac{1}{2}$
提示：注意 $\int_{0}^{+\infty} e^{-u} du = 1$。
步骤 4/6
目标：得到结果
由 $I^2 = \frac{\pi}{4}$，且 $I > 0$，故 $I = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$。
公式：$I = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$
提示：开方时取正根，因为被积函数为正。
步骤 5/6
目标：方法二：Gamma函数法
令 $t = x^2$，则 $x = \sqrt{t}$，$dx = \frac{1}{2\sqrt{t}} dt$，积分限 $x$ 从 $0$ 到 $+\infty$ 对应 $t$ 从 $0$ 到 $+\infty$。于是 $I = \int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \int_{0}^{+\infty} e^{-t} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{+\infty} t^{-1/2} e^{-t} dt$。
公式：$\Gamma(s) = \int_{0}^{+\infty} t^{s-1} e^{-t} dt$
提示：注意 $dx$ 与 $dt$ 的转换，不要漏掉因子。
步骤 6/6
目标：利用Gamma函数性质
由Gamma函数定义，$\int_{0}^{+\infty} t^{-1/2} e^{-t} dt = \Gamma(1/2)$。已知 $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$。因此 $I = \frac{1}{2} \sqrt{\pi} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$。
公式：$\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$
提示：记住Gamma函数的特殊值：$\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$，$\Gamma(1)=1$，$\Gamma(n+1)=n!$。
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