中册 5.1 反常积分计算 第12题
📝 题目
12．计算下列反常积分（已知 $\displaystyle \left.\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\right)$ ．
（1） $\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a|x|} \mathrm{d} x(a>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{dx}$ ．
（4）$\displaystyle I_{k}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} x^{k} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x, k$ 为自然数．
（5） $\int_{0}^{+\infty} x^{n} \mathrm{e}^{-a x} \mathrm{~d} x$ ，其中 $n$ 为正整数，$a$ 为正常数．（国防科技，安徽大学 2005，东华大学 2001 $(n=5)$ ；$a =1$ ：曲阜师大 2005，天津大学 2007，湘潭大学 2010；北航 2000（ $n=10, a=1$ ））
（6） $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{4}} \mathrm{~d} x \cdot \int_{0}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x^{4}} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^{x-1}} \mathrm{~d} x$ ．
（9） $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\left(x-a x^{-1}\right)^{2}} \mathrm{~d} x, a>0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由于 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \mathrm{~d} x=\lim _{A \rightarrow+\infty} \int_{0}^{A} \mathrm{e}^{-a x} \mathrm{~d} x=\left.\lim _{A \rightarrow+\infty}\left(-\frac{1}{a} e^{-a x}\right)\right|_{0} ^{A}=-\frac{1}{a} \lim _{A \rightarrow+\infty}\left(\mathrm{e}^{-a A}-1\right)=\frac{1}{a}$ ；
$$
\int_{-\infty}^{0} \mathrm{e}^{a x} \mathrm{~d} x=\lim _{B \rightarrow-\infty} \int_{B}^{0} \mathrm{e}^{a x} \mathrm{~d} x=\left.\lim _{B \rightarrow-\infty}\left(\frac{1}{a} \mathrm{e}^{a x}\right)\right|_{B} ^{0}=\frac{1}{a} \lim _{B \rightarrow-\infty}\left(1-\mathrm{e}^{a B}\right)=\frac{1}{a} .
$$
所以
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a|x|} \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{0} \mathrm{e}^{-a|x|} \mathrm{d} x+\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a|x|} \mathrm{d} x=\frac{2}{a}
$$
（2）令 $\displaystyle t=\frac{x^{2}}{2}$ ，则 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x=2 \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x=\sqrt{2} \int_{0}^{+\infty} t^{-\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{-t} \mathrm{~d} t=\sqrt{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2} \sqrt{\pi}=\sqrt{2 \pi}$ ．
（3）方法 $1: I^{2}=\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y=\iint_{D} \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~d} \theta \int_{-\infty}^{+\infty} r \mathrm{e}^{-r^{2}} \mathrm{~d} r=\pi$ ．故 $I=\sqrt{\pi}$ ．
方法 2：令 $x^{2}=t$ ，则 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=2 \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{+\infty} t^{-\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{-t} \mathrm{~d} t=\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$ ．
（4）$\displaystyle I_{k}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} x^{k} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x$ ，收敛。
当 $k$ 为奇数时，被积函数为奇函数，从而 $I_{k}=0$ ．
当 $k$ 为偶数时，设 $k=2 n$ ，则 $\displaystyle I_{k}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} x^{k} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x=\frac{2}{\sqrt{2 \pi}} \int_{0}^{+\infty} x^{k} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x$ 。令 $\displaystyle t=\frac{x^{2}}{2}$ ，则
$$
\begin{aligned}
I_{k} & =\frac{2}{\sqrt{2 \pi}} \int_{0}^{+\infty} x^{k} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot 2^{\frac{k+1}{2}} \int_{0}^{+\infty} t^{\frac{k+1}{2}-1} \mathrm{e}^{-t} \mathrm{~d} t=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot 2^{\frac{k+1}{2}} \Gamma\left(\frac{k+1}{2}\right) \\
& =\frac{2^{n}}{\sqrt{\pi}} \Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)=\frac{2^{n}}{\sqrt{\pi}}\left(n-\frac{1}{2}\right) \cdot\left(n-\frac{3}{2}\right) \cdots \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=(2 n-1)!!.
\end{aligned}
$$
（5）令 $t=a x$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x^{n} \mathrm{e}^{-a x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{a^{n+1}} \int_{0}^{+\infty} t^{n} \mathrm{e}^{-t} \mathrm{~d} t$ ．由 $\Gamma$ 函数得 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} x^{n} \mathrm{e}^{-a x} \mathrm{~d} x=\frac{1}{a^{n+1}} \Gamma(n+1)=\frac{n!}{a^{n+1}}$ ．
（6）令 $t=x^{4}$ ，则
$$
\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{4}} \mathrm{~d} x \cdot \int_{0}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x^{4}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{4^{2}} \int_{0}^{+\infty} t^{\frac{3}{4}} \mathrm{e}^{-t} \mathrm{~d} x \cdot \int_{0}^{+\infty} t^{-\frac{1}{4}} \mathrm{e}^{-t} \mathrm{~d} x=\frac{1}{4^{2}} \Gamma\left(\frac{1}{4}\right) \Gamma\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{4^{2}} \pi
$$
（7） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=2 \int_{0}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{+\infty} t^{\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{-t} \mathrm{~d} t=\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{\mathrm{e}^{x-1}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x+1} \mathrm{~d} x=\mathrm{e} \int_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x=\mathrm{e} \Gamma(2)=\mathrm{e}$ ．
（9）令 $\displaystyle t=x-\frac{a}{x}$ ，则 $\displaystyle x=\frac{1}{2}\left(t+\sqrt{t^{2}+4 a}\right)$ ．所以
$$
\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-\left(x-a x^{-1}\right)^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^{2}}\left(1+\frac{t}{\sqrt{t^{2}+4 a}}\right) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t+\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^{2}} \frac{t}{\sqrt{t^{2}+4 a}} \mathrm{~d} t=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=\frac{\sqrt{\pi}}{2} .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：计算积分 (1) ∫_{-∞}^{+∞} e^{-a|x|} dx
由于被积函数是偶函数，积分区间对称，故 ∫_{-∞}^{+∞} e^{-a|x|} dx = 2∫_0^{+∞} e^{-ax} dx。计算 ∫_0^{+∞} e^{-ax} dx = lim_{A→+∞} ∫_0^A e^{-ax} dx = lim_{A→+∞} [-(1/a)e^{-ax}]_0^A = 1/a。因此原积分 = 2/a。
公式：∫_0^{+∞} e^{-ax} dx = 1/a (a>0)
提示：注意绝对值处理，利用偶函数性质简化计算。
步骤 2/9
目标：计算积分 (2) ∫_{-∞}^{+∞} e^{-x^2/2} dx
被积函数为偶函数，故 ∫_{-∞}^{+∞} e^{-x^2/2} dx = 2∫_0^{+∞} e^{-x^2/2} dx。令 t = x^2/2，则 x = √(2t)，dx = dt/√(2t)，积分变为 2∫_0^{+∞} e^{-t} * (1/√(2t)) dt = √2 ∫_0^{+∞} t^{-1/2} e^{-t} dt = √2 Γ(1/2) = √2 * √π = √(2π)。
公式：Γ(1/2) = √π
提示：换元时注意积分限和微分变换，正确使用Gamma函数。
步骤 3/9
目标：计算积分 (3) ∫_{-∞}^{+∞} e^{-x^2} dx
方法一：利用二重积分。I^2 = ∫_{-∞}^{+∞} e^{-x^2} dx * ∫_{-∞}^{+∞} e^{-y^2} dy = ∬_{R^2} e^{-(x^2+y^2)} dxdy，化为极坐标：∫_0^{2π} dθ ∫_0^{+∞} r e^{-r^2} dr = 2π * (1/2) = π，故 I = √π。方法二：令 x^2 = t，则 dx = dt/(2√t)，积分变为 ∫_0^{+∞} t^{-1/2} e^{-t} dt = Γ(1/2) = √π。
公式：Γ(1/2) = √π
提示：注意极坐标变换时雅可比行列式为r，积分限正确。
步骤 4/9
目标：计算积分 (4) I_k = (1/√(2π)) ∫_{-∞}^{+∞} x^k e^{-x^2/2} dx
当k为奇数时，被积函数为奇函数，积分区间对称，故I_k=0。当k为偶数时，设k=2n，利用偶函数性质：I_k = (2/√(2π)) ∫_0^{+∞} x^{2n} e^{-x^2/2} dx。令t=x^2/2，则x=√(2t)，dx=dt/√(2t)，积分变为 (2/√(2π)) ∫_0^{+∞} (2t)^n e^{-t} * (1/√(2t)) dt = (2^n/√π) ∫_0^{+∞} t^{n-1/2} e^{-t} dt = (2^n/√π) Γ(n+1/2)。利用Gamma函数递推：Γ(n+1/2) = (2n-1)!!/2^n * √π，故I_k = (2n-1)!!。
公式：Γ(n+1/2) = (2n-1)!! √π / 2^n
提示：注意奇偶性讨论，Gamma函数递推公式的正确使用。
步骤 5/9
目标：计算积分 (5) ∫_0^{+∞} x^n e^{-ax} dx
令t=ax，则x=t/a，dx=dt/a，积分变为 ∫_0^{+∞} (t/a)^n e^{-t} * (dt/a) = (1/a^{n+1}) ∫_0^{+∞} t^n e^{-t} dt = (1/a^{n+1}) Γ(n+1) = n! / a^{n+1}。
公式：Γ(n+1) = n!
提示：换元后注意幂次和系数，Gamma函数与阶乘的关系。
步骤 6/9
目标：计算积分 (6) ∫_0^{+∞} e^{-x^4} dx * ∫_0^{+∞} x^2 e^{-x^4} dx
令t=x^4，则x=t^{1/4}，dx=(1/4) t^{-3/4} dt。第一个积分：∫_0^{+∞} e^{-x^4} dx = (1/4) ∫_0^{+∞} t^{-3/4} e^{-t} dt = (1/4) Γ(1/4)。第二个积分：∫_0^{+∞} x^2 e^{-x^4} dx = ∫_0^{+∞} t^{1/2} e^{-t} * (1/4) t^{-3/4} dt = (1/4) ∫_0^{+∞} t^{-1/4} e^{-t} dt = (1/4) Γ(3/4)。乘积为 (1/16) Γ(1/4) Γ(3/4)。利用余元公式：Γ(1/4) Γ(3/4) = π / sin(π/4) = π√2，故结果为 √2 π / 16。
公式：余元公式：Γ(p) Γ(1-p) = π / sin(pπ)
提示：注意换元后指数变换，余元公式的应用。
步骤 7/9
目标：计算积分 (7) ∫_{-∞}^{+∞} x^2 e^{-x^2} dx
被积函数为偶函数，故 ∫_{-∞}^{+∞} x^2 e^{-x^2} dx = 2∫_0^{+∞} x^2 e^{-x^2} dx。令t=x^2，则x=√t，dx=dt/(2√t)，积分变为 2∫_0^{+∞} t e^{-t} * (1/(2√t)) dt = ∫_0^{+∞} t^{1/2} e^{-t} dt = Γ(3/2) = (1/2) Γ(1/2) = √π/2。
公式：Γ(3/2) = (1/2) √π
提示：注意Gamma函数递推：Γ(z+1)=zΓ(z)。
步骤 8/9
目标：计算积分 (8) ∫_0^{+∞} x/(e^{x-1}) dx
注意分母为 e^{x-1}，即 e^{x-1} = e^x / e，故被积函数为 x e^{1-x}。积分变为 e ∫_0^{+∞} x e^{-x} dx = e Γ(2) = e * 1! = e。
公式：Γ(2) = 1! = 1
提示：注意指数形式化简，避免混淆。
步骤 9/9
目标：计算积分 (9) ∫_0^{+∞} e^{-(x - a/x)^2} dx
令 t = x - a/x，则 x = (t + √(t^2+4a))/2，dx = (1/2)(1 + t/√(t^2+4a)) dt。当x从0到+∞时，t从-∞到+∞。积分变为 ∫_{-∞}^{+∞} e^{-t^2} * (1/2)(1 + t/√(t^2+4a)) dt = (1/2) ∫_{-∞}^{+∞} e^{-t^2} dt + (1/2) ∫_{-∞}^{+∞} e^{-t^2} t/√(t^2+4a) dt。第二项被积函数为奇函数，积分为0。第一项为 (1/2) √π，故结果为 √π/2。
公式：∫_{-∞}^{+∞} e^{-t^2} dt = √π
提示：注意换元后积分限变化，奇偶性判断。
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