中册 5.1 反常积分计算 第14题
📝 题目
14．（傅茹兰尼公式）证明：
（1）设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续， $0
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）任取 $00$ 有 $\displaystyle \int_{\varepsilon}^{+\infty} \frac{f(a x)}{x} \mathrm{~d} x=\int_{\varepsilon a}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x$ 。所以
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x & =\int_{\varepsilon a}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x-\int_{\varepsilon b}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x=\int_{\varepsilon a}^{\varepsilon b} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x \\
& \xlongequal{x=\varepsilon t} \int_{a}^{b} \frac{f(\varepsilon t)}{t} \mathrm{~d} t=f(\varepsilon \xi) \int_{a}^{b} \frac{1}{t} \mathrm{~d} t(a \leqslant \xi \leqslant b)
\end{aligned}
$$
令 $\varepsilon \rightarrow 0$ ，则有 $\displaystyle \quad \int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=f(0) \int_{a}^{b} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=f(0) \ln \frac{b}{a}$ ．
方法 2：对任何 $\displaystyle \eta>0, A>0, \int_{\eta}^{A} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=\int_{a \eta}^{b \eta} \frac{f(y)}{y} \mathrm{~d} y+\int_{b A}^{a 4} \frac{f(y)}{y} \mathrm{~d} y$ 。由积分中值定理得
$$
\int_{a \eta}^{b \eta} \frac{f(y)}{y} \mathrm{~d} y=f(\xi) \int_{a \eta}^{b \eta} \frac{1}{y} \mathrm{~d} y=f(\xi) \ln \frac{b}{a} \text {, 其中 } \xi \text { 在 } a \eta \text { 与 } b \eta \text { 之间. }
$$
当 $\eta \rightarrow 0^{+}$时， $\displaystyle \int_{a \eta}^{b \eta} \frac{f(y)}{y} \mathrm{~d} y$ 趋于 $\displaystyle f(0) \ln \frac{b}{a}$ ．因为 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x$ 收玫，则当 $A \rightarrow+\infty$ 时， $\displaystyle \int_{b A}^{a A} \frac{f(y)}{y} \mathrm{~d} y$ 趋于 0 ，故
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=f(0) \ln \frac{b}{a} .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入参数并改写积分
任取 $0
公式：$$\int_{A}^{B}\frac{f(ax)}{x}dx=\int_{aA}^{aB}\frac{f(t)}{t}dt$$
提示：注意变量代换时积分限的变化，$x$ 从 $A$ 到 $B$ 对应 $t=ax$ 从 $aA$ 到 $aB$。
步骤 2/6
目标：应用积分中值定理
对两个积分分别应用积分中值定理：存在 $\xi \in (aA, bA)$ 和 $\eta \in (aB, bB)$，使得
$$\int_{aA}^{bA}\frac{f(t)}{t}dt = f(\xi)\int_{aA}^{bA}\frac{1}{t}dt = f(\xi)\ln\frac{b}{a},$$
$$\int_{aB}^{bB}\frac{f(t)}{t}dt = f(\eta)\int_{aB}^{bB}\frac{1}{t}dt = f(\eta)\ln\frac{b}{a}.$$
因此
$$g(A,B) = (f(\xi)-f(\eta))\ln\frac{b}{a}.$$
公式：积分中值定理：$\int_{a}^{b} f(x)g(x)dx = f(\xi)\int_{a}^{b}g(x)dx$
提示：注意积分中值定理要求被积函数连续，$1/t$ 在区间上不变号，这里 $a,b>0$ 保证区间不包含0。
步骤 3/6
目标：取极限得到结果
令 $A \to 0^+$，$B \to +\infty$。由 $f$ 的连续性，$\xi \to 0$ 时 $f(\xi) \to f(0)$；由 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=k$，$\eta \to +\infty$ 时 $f(\eta) \to k$。因此
$$\int_{0}^{+\infty}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx = \lim_{A\to0^+,B\to+\infty} g(A,B) = (f(0)-k)\ln\frac{b}{a}.$$
提示：注意极限过程：$A\to0^+$ 和 $B\to+\infty$ 是独立的，但中值点依赖于 $A,B$，需利用连续性保证极限存在。
步骤 4/6
目标：证明第二部分（2）
对 $f(x)$ 在 $x=0$ 处进行连续延拓：定义 $\tilde{f}(x)=\begin{cases} f(x), & x>0 \\ d, & x=0 \end{cases}$，则 $\tilde{f}$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且 $\lim_{x\to+\infty}\tilde{f}(x)=c$。由（1）得
$$\int_{0}^{+\infty}\frac{\tilde{f}(ax)-\tilde{f}(bx)}{x}dx = (\tilde{f}(0)-c)\ln\frac{b}{a} = (d-c)\ln\frac{b}{a}.$$
由于 $x>0$ 时 $\tilde{f}(x)=f(x)$，积分与 $f$ 相同，故结论成立。
提示：注意延拓后函数在0处连续，才能应用（1）的结论。
步骤 5/6
目标：证明第三部分（3）方法一
由于 $\int_{0}^{+\infty}\frac{f(x)}{x}dx$ 收敛，对任意 $\varepsilon>0$，有
$$\int_{\varepsilon}^{+\infty}\frac{f(ax)}{x}dx = \int_{\varepsilon a}^{+\infty}\frac{f(x)}{x}dx.$$
因此
$$\int_{0}^{+\infty}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx = \lim_{\varepsilon\to0^+}\left(\int_{\varepsilon a}^{+\infty}\frac{f(x)}{x}dx - \int_{\varepsilon b}^{+\infty}\frac{f(x)}{x}dx\right) = \lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon a}^{\varepsilon b}\frac{f(x)}{x}dx.$$
令 $x=\varepsilon t$，得
$$\int_{\varepsilon a}^{\varepsilon b}\frac{f(x)}{x}dx = \int_{a}^{b}\frac{f(\varepsilon t)}{t}dt.$$
由积分中值定理，存在 $\xi\in[a,b]$ 使得上式等于 $f(\varepsilon\xi)\int_{a}^{b}\frac{1}{t}dt = f(\varepsilon\xi)\ln\frac{b}{a}$。令 $\varepsilon\to0^+$，由连续性得 $f(0)\ln\frac{b}{a}$。
公式：$$\int_{\varepsilon a}^{\varepsilon b}\frac{f(x)}{x}dx = \int_{a}^{b}\frac{f(\varepsilon t)}{t}dt$$
提示：注意 $\int_{0}^{+\infty}\frac{f(x)}{x}dx$ 收敛保证了极限与积分交换的合理性。
步骤 6/6
目标：证明第三部分（3）方法二
对任意 $\eta>0, A>0$，有
$$\int_{\eta}^{A}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx = \int_{a\eta}^{b\eta}\frac{f(y)}{y}dy + \int_{bA}^{aA}\frac{f(y)}{y}dy.$$
对第一个积分应用中值定理：存在 $\xi$ 介于 $a\eta$ 与 $b\eta$ 之间，使得
$$\int_{a\eta}^{b\eta}\frac{f(y)}{y}dy = f(\xi)\ln\frac{b}{a}.$$
当 $\eta\to0^+$ 时，$f(\xi)\to f(0)$，故第一个积分趋于 $f(0)\ln\frac{b}{a}$。由于 $\int_{0}^{+\infty}\frac{f(x)}{x}dx$ 收敛，当 $A\to+\infty$ 时，$\int_{bA}^{aA}\frac{f(y)}{y}dy \to 0$。因此
$$\int_{0}^{+\infty}\frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx = f(0)\ln\frac{b}{a}.$$
提示：注意第二个积分限 $bA$ 到 $aA$，由于 $a aA$，积分方向需注意符号。
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