中册 5.1 反常积分计算 第15题
📝 题目
15．设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，对任意 $\displaystyle A>0, \int_{A}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x$ 均有意义，求积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(2 x)-f(3 x)}{x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
利用傅茹兰尼公式得 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(2 x)-f(3 x)}{x} \mathrm{~d} x=f(0) \ln \frac{3}{2}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：引入傅茹兰尼积分公式
傅茹兰尼积分公式：若 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且 $\int_{A}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} dx$ 对任意 $A>0$ 有意义，则 $\int_{0}^{+\infty} \frac{f(ax)-f(bx)}{x} dx = f(0) \ln\frac{b}{a}$，其中 $a,b>0$。本题中 $a=2, b=3$，故直接应用公式得 $\int_{0}^{+\infty} \frac{f(2x)-f(3x)}{x} dx = f(0) \ln\frac{3}{2}$。
公式：\int_{0}^{+\infty} \frac{f(ax)-f(bx)}{x} dx = f(0) \ln\frac{b}{a}
提示：注意公式中 $a$ 和 $b$ 的位置：分子是 $f(ax)-f(bx)$，结果是对数 $\ln(b/a)$。
步骤 2/3
目标：验证条件
题目条件：$f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且对任意 $A>0$，$\int_{A}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} dx$ 有意义。这保证了傅茹兰尼公式的适用性。特别地，$f(0)$ 存在且有限。
提示：确保 $f(0)$ 存在，因为公式中用到 $f(0)$。
步骤 3/3
目标：写出最终结果
因此，所求积分为 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(2x)-f(3x)}{x} dx = f(0) \ln\frac{3}{2}$。
提示：结果中 $\ln\frac{3}{2}$ 不能写成 $\ln 3 - \ln 2$ 以外的形式，注意对数性质。
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