中册 5.1 反常积分计算 第16题
📝 题目
16．设 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 连续， $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=A$ ，则对任意 $0
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由积分中值定理，$\displaystyle \exists \xi \in\left(\frac{a}{n}, \frac{b}{n}\right)$ 使得 $\displaystyle \int_{\frac{a}{n}}^{\frac{b}{n}} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x=f(\xi) \ln \frac{b}{a}$ ．由 $f(x)$ 的连续性及 $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=A$ 得
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{\frac{a}{n}}^{\frac{b}{n}} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x=A \ln \frac{b}{a}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：应用积分中值定理
由于 $f(x)$ 在 $(a,b]$ 连续，且 $\frac{1}{x}$ 在 $[\frac{a}{n}, \frac{b}{n}]$ 上不变号，由积分中值定理，存在 $\xi_n \in (\frac{a}{n}, \frac{b}{n})$ 使得
$$
\int_{\frac{a}{n}}^{\frac{b}{n}} \frac{f(x)}{x} \, dx = f(\xi_n) \int_{\frac{a}{n}}^{\frac{b}{n}} \frac{1}{x} \, dx.
$$
公式：积分中值定理：$\int_a^b f(x)g(x)\,dx = f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx$
提示：注意 $\frac{1}{x}$ 在区间上不变号，且 $f$ 连续，才能应用中值定理。
步骤 2/6
目标：计算积分 $\int_{a/n}^{b/n} \frac{1}{x} dx$
计算定积分：
$$
\int_{\frac{a}{n}}^{\frac{b}{n}} \frac{1}{x} \, dx = \ln x \Big|_{\frac{a}{n}}^{\frac{b}{n}} = \ln\left(\frac{b}{n}\right) - \ln\left(\frac{a}{n}\right) = \ln\frac{b}{a}.
$$
公式：$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
提示：注意对数运算性质：$\ln(b/n) - \ln(a/n) = \ln(b/a)$。
步骤 3/6
目标：得到表达式
代入积分结果，得到
$$
\int_{\frac{a}{n}}^{\frac{b}{n}} \frac{f(x)}{x} \, dx = f(\xi_n) \ln\frac{b}{a}.
$$
提示：注意 $\xi_n$ 依赖于 $n$。
步骤 4/6
目标：分析 $\xi_n$ 的极限
由于 $\xi_n \in (\frac{a}{n}, \frac{b}{n})$，当 $n \to \infty$ 时，$\frac{a}{n} \to 0^+$，$\frac{b}{n} \to 0^+$，因此 $\xi_n \to 0^+$。
提示：注意 $a>0$，$b>0$，所以 $a/n$ 和 $b/n$ 都趋于 $0^+$。
步骤 5/6
目标：利用已知极限
已知 $\lim_{x \to 0^+} f(x) = A$，且 $f$ 在 $(a,b]$ 连续，所以 $f(\xi_n) \to A$ 当 $n \to \infty$。
提示：连续性保证极限与函数值一致。
步骤 6/6
目标：取极限
对等式两边取极限 $n \to \infty$：
$$
\lim_{n \to \infty} \int_{\frac{a}{n}}^{\frac{b}{n}} \frac{f(x)}{x} \, dx = \lim_{n \to \infty} f(\xi_n) \ln\frac{b}{a} = A \ln\frac{b}{a}.
$$
提示：注意 $\ln(b/a)$ 是常数，可以直接提出极限号。
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