中册 5.1 反常积分计算 第17题
📝 题目
17．设 $f(x) \in C[0,+\infty), b>a>0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \int_{a x}^{b x} \frac{f(t)}{t} \mathrm{~d} t$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由积分中值定理，存在 $\xi \in(a x, b x)$ 使得
$$
\int_{a x}^{b x} \frac{f(t)}{t} \mathrm{~d} t=f(\xi) \int_{a x}^{b x} \frac{1}{t} \mathrm{~d} t=\left.f(\xi)(\ln t)\right|_{a x} ^{b x}=f(\xi) \ln \frac{b}{a} .
$$
于是
$$
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \int_{a x}^{b x} \frac{f(t)}{t} \mathrm{~d} t=f(0) \ln \frac{b}{a} .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别积分形式与适用定理
观察所求极限：$\lim_{x \to 0^+} \int_{ax}^{bx} \frac{f(t)}{t} dt$，其中 $f(t)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，$b>a>0$。积分区间长度随 $x$ 趋于0而趋于0，且被积函数分母含 $t$，考虑使用积分中值定理。
提示：注意积分中值定理要求被积函数连续，这里 $\frac{f(t)}{t}$ 在 $t=0$ 处可能不连续，但积分区间不含0（因为 $x>0$ 时 $ax>0$），所以连续条件满足。
步骤 2/6
目标：应用积分中值定理
由于 $f(t)$ 连续，$\frac{1}{t}$ 在 $[ax, bx]$ 上不变号（恒正），由推广的积分中值定理，存在 $\xi \in (ax, bx)$ 使得
$$
\int_{ax}^{bx} \frac{f(t)}{t} dt = f(\xi) \int_{ax}^{bx} \frac{1}{t} dt.
$$
公式：积分中值定理：若 $f,g$ 连续且 $g$ 不变号，则存在 $\xi$ 使得 $\int_a^b f(x)g(x)dx = f(\xi)\int_a^b g(x)dx$。
提示：确保 $g(t)=1/t$ 在区间上不变号（正），且 $f(t)$ 连续，才可使用该定理。
步骤 3/6
目标：计算简单积分
计算 $\int_{ax}^{bx} \frac{1}{t} dt = \ln t \big|_{ax}^{bx} = \ln(bx) - \ln(ax) = \ln\frac{b}{a}$。
公式：$\int \frac{1}{t} dt = \ln|t| + C$
提示：注意 $ax>0$，所以绝对值可去掉。
步骤 4/6
目标：代入中值结果
于是原积分化为 $f(\xi) \ln\frac{b}{a}$，其中 $\xi \in (ax, bx)$。
步骤 5/6
目标：取极限并利用连续性
当 $x \to 0^+$ 时，$ax \to 0$，$bx \to 0$，因此 $\xi \to 0$。由于 $f$ 在 $0$ 处连续，有 $\lim_{x\to 0^+} f(\xi) = f(0)$。所以
$$
\lim_{x\to 0^+} \int_{ax}^{bx} \frac{f(t)}{t} dt = f(0) \ln\frac{b}{a}.
$$
公式：函数连续性：$\lim_{t\to 0} f(t) = f(0)$
提示：注意 $\xi$ 依赖于 $x$，但由夹逼性 $\xi \to 0$，且 $f$ 连续，故极限可交换。
步骤 6/6
目标：总结结果
因此，所求极限为 $f(0) \ln\frac{b}{a}$。
提示：答案中 $f(0)$ 是 $f$ 在0处的函数值，$\ln\frac{b}{a}$ 由 $a,b$ 决定。
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