中册 5.1 反常积分计算 第18题
📝 题目
18．计算下列反常积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-a x}-\mathrm{e}^{-b x}}{x} \mathrm{~d} x(b>a>0)$ 。（安徽大学 2012，安徽师大 2006 ，三峡大学 2011，山东大学 2002，天津大学 2005，北京理工 2004，华东师大 2004，湖北大学 2010／2011，河海大学 2006，江苏大学 2010，华南理工 2010，中南大学 2001，西北工大 2002，曲阜师大 2009／2011，南京农大 2009，山东师大 2008，东北师大 2002，东华大学2005，华东理工 2004，聊城大学 2004／2012／2010，山西师大 2009，温州大学 2009；$b=\mathrm{e}, a=1$ ：南京师大 2010，西安交大 2006；上海 大学 $2013(a=3, b=6)$ ；山东科技 $2010(a=2, b=5) / 2009$ ；北京 工 大 2006／2010（ $a=1, b=3$ ）．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan (a x)-\arctan (b x)}{x} \mathrm{~d} x, a>0, b>0$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-\alpha x^{2}}-\mathrm{e}^{-\beta x^{2}}}{x} \mathrm{~d} x, \alpha>\beta>0$ ．（华中科技2011，东华大学1999，华侨大学2008，温州大学2012，深圳大学 $2010(\beta=1)$ ，湖南师大 2004 ，山东大学（ $a=1$ ））
（4） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan \left(a x^{2}\right)-\arctan \left(b x^{2}\right)}{x} \mathrm{~d} x, b>a>0$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1-\mathrm{e}^{-y x}}{x \mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x, y>-2$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1-\mathrm{e}^{-\alpha x}}{x \mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x, \alpha>-1$ ．
分析：可用傅茹兰尼公式，亦可用积分号下的积分法求解．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方法 1：由于 $\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{-a x}-\mathrm{e}^{-b x}}{x}=-\frac{\mathrm{e}^{-b x}-\mathrm{e}^{-a x}}{x}=-\left.\frac{\mathrm{e}^{-y x}}{x}\right|_{a} ^{b}=\int_{a}^{b}\left(-\frac{\mathrm{e}^{-y x}}{x}\right)_{y}^{\prime} \mathrm{d} y=\int_{a}^{b} \mathrm{e}^{-y x} \mathrm{~d} y$ ．所以
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-a x}-\mathrm{e}^{-b x}}{x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{+\infty}\left(\int_{a}^{b} \mathrm{e}^{-y x} \mathrm{~d} y\right) \mathrm{d} x
$$
已知 $\forall y \in[a, b]$ 有 $\mathrm{e}^{-y x} \leqslant \mathrm{e}^{-a x}$ ，而 $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-a x} \mathrm{~d} x$ 收玫， $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-y x} \mathrm{~d} x$ 在 $[a, b]$ 上一致收玫。交换积分次序，得
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-a x}-\mathrm{e}^{-b x}}{x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{+\infty}\left(\int_{a}^{b} \mathrm{e}^{-y x} \mathrm{~d} y\right) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b}\left(\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-y x} \mathrm{~d} x\right) \mathrm{d} y=\int_{a}^{b} \frac{1}{y} \mathrm{~d} y=\ln \frac{a}{b} .
$$
方法 2：设 $f(x)=\mathrm{e}^{-x}$ ，则 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0=k, f(0)=1$ 。利用傅茹兰尼公式得
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-a x}-\mathrm{e}^{-b x}}{x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=(f(0)-k) \ln \frac{b}{a}=\ln \frac{b}{a} .
$$
（2）设 $f(x)=\arctan x$ ，则 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\frac{\pi}{2}=k, f(0)=0$ 。利用傅茹兰尼公式得
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan a x-\arctan b x}{x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=(f(0)-k) \ln \frac{b}{a}=-\frac{\pi}{2} \ln \frac{b}{a} .
$$
（3）方法 1：设 $f(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}$ ，则 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0=k, f(0)=1$ ．利用傅茹兰尼公式得
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-a x^{2}}-\mathrm{e}^{\beta x^{2}}}{x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{+\infty} \frac{f(\sqrt{\alpha} x)-f(\sqrt{\beta} x)}{x} \mathrm{~d} x=(f(0)-k) \ln \frac{\sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha}}=\frac{1}{2} \ln \frac{\beta}{\alpha} .
$$
方法 2：由于 $\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{-\alpha x^{2}}-\mathrm{e}^{-\beta x^{2}}}{x}=\int_{\alpha}^{\beta} x \mathrm{e}^{-t x^{2}} \mathrm{~d} t$ ，所以
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-\alpha x^{2}}-\mathrm{e}^{-\beta x^{2}}}{x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{d} x \int_{\alpha}^{\beta} x \mathrm{e}^{-t x^{2}} \mathrm{~d} t
$$
记 $f(x, t)=x \mathrm{e}^{-t x^{2}}$ ，则 $f(x, t)$ 在 $[0,+\infty) \times[\alpha, \beta]$ 上连续，且 $\int_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-t x^{2}} \mathrm{~d} x$ 对 $t \in[\alpha, \beta]$ 一致收敛．交换积分顺序得
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-\alpha x^{2}}-\mathrm{e}^{-\beta x^{2}}}{x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{d} x \int_{\alpha}^{\beta} x \mathrm{e}^{-t x^{2}} \mathrm{~d} t=\int_{\alpha}^{\beta} \mathrm{d} t \int_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-t x^{2}} \mathrm{~d} x=\int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2 t}=\frac{1}{2} \ln \frac{\beta}{\alpha} .
$$
（4）设 $f(x)=\arctan \left(x^{2}\right)$ ，则有 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\frac{\pi}{2}, f(0)=0$ 。利用傅茹兰尼公式得
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan \left(a x^{2}\right)-\arctan \left(b x^{2}\right)}{x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{+\infty} \frac{f(\sqrt{a} x)-f(\sqrt{b} x)}{x} \mathrm{~d} x=-f(+\infty) \ln \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}=-\frac{\pi}{2} \frac{1}{2} \ln \frac{b}{a}=-\frac{\pi}{4} \ln \frac{b}{a} .
$$
（5）变形 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1-\mathrm{e}^{-y x}}{x \mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-2 x}-\mathrm{e}^{-(y+2) x}}{x} \mathrm{~d} x$ ．
设 $f(x)=\mathrm{e}^{-x}$ ，则 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0=k, f(0)=1$ ．利用傅茹兰尼公式得
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-2 x}-\mathrm{e}^{-(y+2) x}}{x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{+\infty} \frac{f(2 x)-f((y+2) x)}{x} \mathrm{~d} x=(f(0)-k) \ln \frac{y+2}{x}=\ln \frac{y+2}{x} .
$$
（6）变形 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1-\mathrm{e}^{-\alpha x}}{x \mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^{-(\alpha+1) x}}{x} \mathrm{~d} x$ ．
设 $f(x)=\mathrm{e}^{-x}$ ，则 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0=k, f(0)=1$ 。利用傅茹兰尼公式得
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^{-(\alpha+1) x}}{x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{+\infty} \frac{f(x)-f((\alpha+1) x)}{x} \mathrm{~d} x=(f(0)-k) \ln \frac{\alpha+1}{1}=\ln (\alpha+1) .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别积分类型并选择方法
观察被积函数形式 $\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}$，符合傅茹兰尼（Frullani）积分形式 $\int_0^\infty \frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx$，其中 $f(x)=e^{-x}$。也可采用积分号下求导法。
公式：傅茹兰尼积分公式：$\int_0^\infty \frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx = (f(0)-\lim_{x\to\infty}f(x))\ln\frac{b}{a}$
提示：注意傅茹兰尼公式要求 $f$ 在 $[0,+\infty)$ 连续且极限存在。
步骤 2/4
目标：验证函数条件
令 $f(x)=e^{-x}$，则 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 连续，$f(0)=1$，$\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$。
提示：检查 $f$ 在无穷远处的极限是否存在且有限。
步骤 3/4
目标：应用傅茹兰尼公式
代入公式得：$\int_0^\infty \frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}dx = (1-0)\ln\frac{b}{a} = \ln\frac{b}{a}$。
公式：傅茹兰尼公式
提示：注意 $a,b>0$，且 $b>a$，故 $\ln(b/a)>0$。
步骤 4/4
目标：验证结果
结果 $\ln(b/a)$ 为正数，与积分值应为正一致（因为被积函数在 $x>0$ 时为正）。
提示：可通过数值例子验证，如 $a=1,b=2$ 时积分值约为 $\ln 2$。
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