中册 5.1 反常积分计算 第19题
📝 题目
19．利用 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ，证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-a x^{2}}-\mathrm{e}^{-b x^{2}}}{x^{2}} \mathrm{~d} x=\sqrt{\pi}(\sqrt{b}-\sqrt{a}),(b>a>0)$ ．（太原科技 2005，天津大学 2006，燕山大学 2004，华南师大 2007（ $a=0$ ），西北师大）
💡 答案解析
解题过程：
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-a x^{2}}-\mathrm{e}^{-b x^{2}}}{x^{2}} \mathrm{~d} x & =-\int_{0}^{+\infty}\left(\mathrm{e}^{-a x^{2}}-\mathrm{e}^{-b x^{2}}\right) \mathrm{d}\left(\frac{1}{x}\right)=\left.\frac{\mathrm{e}^{-b x^{2}}-\mathrm{e}^{-a x^{2}}}{x}\right|_{x=0} ^{x=+\infty}+2 \int_{0}^{+\infty}\left(b \mathrm{e}^{-b x^{2}}-a \mathrm{e}^{-a x^{2}}\right) \mathrm{d} x \\
& =2 \sqrt{b} \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-(\sqrt{b} x)^{2}} \mathrm{~d}(\sqrt{b} x)-2 \sqrt{a} \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-(\sqrt{a} x)^{2}} \mathrm{~d}(\sqrt{a} x)=\sqrt{\pi}(\sqrt{b}-\sqrt{a})
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分部积分准备
将积分写成适合分部积分的形式：注意到 $\frac{1}{x^2}dx = -d\left(\frac{1}{x}\right)$，因此原积分可写为
$$\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-ax^2}-e^{-bx^2}}{x^2} dx = -\int_{0}^{+\infty} (e^{-ax^2}-e^{-bx^2}) d\left(\frac{1}{x}\right).$$
公式：$\frac{1}{x^2}dx = -d\left(\frac{1}{x}\right)$
提示：注意微分关系：$d(1/x) = -1/x^2 dx$，因此负号要正确处理。
步骤 2/6
目标：应用分部积分公式
令 $u = e^{-ax^2}-e^{-bx^2}$，$dv = d(1/x)$，则 $du = (-2ax e^{-ax^2} + 2bx e^{-bx^2})dx$，$v = 1/x$。分部积分得：
$$-\left[ \frac{e^{-ax^2}-e^{-bx^2}}{x} \right]_{0}^{+\infty} + \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x} \cdot (-2ax e^{-ax^2} + 2bx e^{-bx^2}) dx.$$
公式：$\int u dv = uv - \int v du$
提示：注意分部积分公式前的负号，以及 $du$ 的符号。
步骤 3/6
目标：计算边界项
计算边界项：
$$\left. \frac{e^{-ax^2}-e^{-bx^2}}{x} \right|_{0}^{+\infty} = \lim_{x\to +\infty} \frac{e^{-ax^2}-e^{-bx^2}}{x} - \lim_{x\to 0^+} \frac{e^{-ax^2}-e^{-bx^2}}{x}.$$
当 $x\to +\infty$ 时，分子指数衰减，极限为0；当 $x\to 0^+$ 时，利用 $e^{-ax^2} \approx 1 - ax^2$，分子 $\approx (1-ax^2)-(1-bx^2) = (b-a)x^2$，除以 $x$ 得 $(b-a)x \to 0$。因此边界项为0。
提示：注意 $x\to 0^+$ 时使用泰勒展开，避免直接代入导致分母为0。
步骤 4/6
目标：化简积分项
边界项为0，剩余积分为：
$$\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x} \cdot (-2ax e^{-ax^2} + 2bx e^{-bx^2}) dx = \int_{0}^{+\infty} (-2a e^{-ax^2} + 2b e^{-bx^2}) dx = 2\int_{0}^{+\infty} (b e^{-bx^2} - a e^{-ax^2}) dx.$$
提示：注意 $x$ 约掉后，积分变为简单形式。
步骤 5/6
目标：变量代换化为已知积分
分别计算两个积分：
$$\int_{0}^{+\infty} b e^{-bx^2} dx = \sqrt{b} \int_{0}^{+\infty} e^{-(\sqrt{b}x)^2} d(\sqrt{b}x) = \sqrt{b} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2},$$
$$\int_{0}^{+\infty} a e^{-ax^2} dx = \sqrt{a} \int_{0}^{+\infty} e^{-(\sqrt{a}x)^2} d(\sqrt{a}x) = \sqrt{a} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2}.$$
公式：$\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$
提示：注意代换后积分限不变，且 $d(\sqrt{b}x) = \sqrt{b} dx$，因此 $b dx = \sqrt{b} d(\sqrt{b}x)$。
步骤 6/6
目标：合并结果
将两个积分结果代入：
$$2 \left( \sqrt{b} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} - \sqrt{a} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} \right) = \sqrt{\pi}(\sqrt{b} - \sqrt{a}).$$
提示：注意系数2与1/2相乘得到1。
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