中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第1题
📝 题目
1．讨论下列反常积分的敛散性．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}\right] \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right] \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\sin \frac{1}{x}\right] \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{~d} x}{\sin ^{p} x \cos ^{q} x}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \ln \left(\cos \frac{1}{x}+\sin \frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由于 $x-1<[x] \leqslant x$ ，所以 $\displaystyle 0 \leqslant \frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}<\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}=\frac{1}{x(x-1)}$ 。而 $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x(x-1)} \mathrm{d} x$ 收敛，所以 $\displaystyle \int_{2}^{+\infty}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ 收敛．又因 $\displaystyle \int_{1}^{2}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ 为正常积分，所以 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ 收敛．
（2）令 $\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ，则
$$
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}\right) & =\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{t-\sqrt{\ln \left(1+t^{2}\right)}}{t^{3}}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{t-\sqrt{t^{2}-\frac{1}{2} t^{4}+o\left(t^{4}\right)}}{t^{3}} \\
& =\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1-\left(1-\frac{1}{4} t^{2}+o\left(t^{2}\right)\right)}{t^{2}}=\frac{1}{4} .
\end{aligned}
$$
所以积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}\right) \mathrm{d} x$ 收敛。
（3）由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}\left|\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right|=\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^{2}}+o\left(\frac{1}{x^{2}}\right)-\frac{1}{1+x}\right|=\frac{1}{2}$ ，
所以 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right] \mathrm{d} x$ 收敛。
（4） $\displaystyle \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\sin \frac{1}{x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^{2}}-\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x^{2}}\right)=-\frac{1}{2 x^{2}}+o\left(\frac{1}{x^{2}}\right)$ ．
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}\left|\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\sin \frac{1}{x}\right|=\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^{2}}-\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x^{2}}\right)\right|=\frac{1}{2} .
$$
从而 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left(\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\sin \frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ 收敛。
（5）记 $s=-p, t=-q$ ，则
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{~d} x}{\sin ^{p} x \cos ^{q} x}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{s} x \cos ^{t} x \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \mathrm{~B}\left(\frac{s+1}{2}, \frac{t+1}{2}\right)
$$
由 B 函数知当 $\displaystyle \frac{s+1}{2}=\frac{-p+1}{2}>0, \frac{t+1}{2}=\frac{-q+1}{-2}>0$ ，即 $p<1$ 与 $q<1$ 时，所考察的取积分收敛。
（6）令 $\displaystyle t=\frac{1}{x}$ ，因 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x \ln \left(\cos \frac{1}{x}+\sin \frac{1}{x}\right)=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln (\cos t+\sin t)}{t}=\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{-\sin t+\cos t}{(\cos t+\sin t)}=1$ ．故反常积分发散．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断积分(1)的敛散性
首先，对于 $x\ge 1$，有 $x-1<[x]\le x$，因此 $0\le \frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}<\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}=\frac{1}{x(x-1)}$。由于 $\int_2^{+\infty}\frac{1}{x(x-1)}dx$ 收敛（比较判别法，与 $\frac{1}{x^2}$ 比较），所以 $\int_2^{+\infty}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right)dx$ 收敛。又 $\int_1^2\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right)dx$ 是正常积分，故原积分收敛。
公式：$\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}<\frac{1}{x(x-1)}$
提示：注意 $[x]$ 是取整函数，需用不等式放缩。
步骤 2/6
目标：判断积分(2)的敛散性
令 $t=\frac{1}{\sqrt{x}}$，则 $x=\frac{1}{t^2}$，$dx=-\frac{2}{t^3}dt$，且 $x\to +\infty$ 时 $t\to 0^+$。考虑极限：$\lim_{x\to +\infty} x^{3/2}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{\ln(1+\frac{1}{x})}\right)=\lim_{t\to 0^+}\frac{t-\sqrt{\ln(1+t^2)}}{t^3}$。利用泰勒展开：$\ln(1+t^2)=t^2-\frac{1}{2}t^4+o(t^4)$，则 $\sqrt{\ln(1+t^2)}=t\sqrt{1-\frac{1}{2}t^2+o(t^2)}=t\left(1-\frac{1}{4}t^2+o(t^2)\right)$。代入得极限为 $\frac{1}{4}$。因此被积函数与 $\frac{1}{x^{3/2}}$ 同阶，而 $\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^{3/2}}dx$ 收敛，故原积分收敛。
公式：$\ln(1+t^2)=t^2-\frac{1}{2}t^4+o(t^4)$
提示：注意泰勒展开的阶数要足够，且需验证极限存在非零。
步骤 3/6
目标：判断积分(3)的敛散性
考虑极限：$\lim_{x\to +\infty} x^2\left[\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right]$。利用泰勒展开：$\ln(1+\frac{1}{x})=\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+o(\frac{1}{x^2})$，而 $\frac{1}{1+x}=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{1+1/x}=\frac{1}{x}\left(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+o(\frac{1}{x^2})\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}+o(\frac{1}{x^3})$。相减得 $\ln(1+\frac{1}{x})-\frac{1}{1+x}=\frac{1}{2x^2}+o(\frac{1}{x^2})$。因此极限为 $\frac{1}{2}$，被积函数与 $\frac{1}{x^2}$ 同阶，积分收敛。
公式：$\ln(1+\frac{1}{x})=\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+o(\frac{1}{x^2})$
提示：注意 $\frac{1}{1+x}$ 的展开要准确到 $\frac{1}{x^2}$ 项。
步骤 4/6
目标：判断积分(4)的敛散性
考虑极限：$\lim_{x\to +\infty} x^2\left[\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)-\sin\frac{1}{x}\right]$。泰勒展开：$\ln(1+\frac{1}{x})=\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+o(\frac{1}{x^2})$，$\sin\frac{1}{x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{6x^3}+o(\frac{1}{x^3})$。相减得 $\ln(1+\frac{1}{x})-\sin\frac{1}{x}=-\frac{1}{2x^2}+o(\frac{1}{x^2})$。因此极限绝对值为 $\frac{1}{2}$，被积函数与 $\frac{1}{x^2}$ 同阶，积分收敛。
公式：$\sin\frac{1}{x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{6x^3}+o(\frac{1}{x^3})$
提示：注意 $\sin$ 展开的奇次项，且 $\frac{1}{x^3}$ 项不影响极限。
步骤 5/6
目标：判断积分(5)的敛散性
积分 $\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{\sin^p x \cos^q x}$ 有两个奇点：$x=0$ 和 $x=\pi/2$。在 $x=0$ 附近，$\sin x\sim x$，$\cos x\sim 1$，被积函数 $\sim \frac{1}{x^p}$，因此 $x=0$ 处收敛当且仅当 $p<1$。在 $x=\pi/2$ 附近，令 $t=\pi/2-x$，则 $\cos x\sim t$，$\sin x\sim 1$，被积函数 $\sim \frac{1}{t^q}$，因此 $x=\pi/2$ 处收敛当且仅当 $q<1$。故原积分收敛当且仅当 $p<1$ 且 $q<1$。
公式：$\sin x\sim x$ (当 $x\to 0$), $\cos x\sim (\pi/2-x)$ (当 $x\to \pi/2$)
提示：注意两个端点都需要讨论，且 $p,q$ 可能为负数。
步骤 6/6
目标：判断积分(6)的敛散性
令 $t=1/x$，则 $x\to +\infty$ 时 $t\to 0^+$，$dx=-\frac{1}{t^2}dt$。考虑极限：$\lim_{x\to +\infty} x\ln\left(\cos\frac{1}{x}+\sin\frac{1}{x}\right)=\lim_{t\to 0^+}\frac{\ln(\cos t+\sin t)}{t}$。利用 $\cos t+\sin t=1+t+o(t)$，$\ln(1+t+o(t))\sim t$，因此极限为 $1$。故被积函数 $\sim \frac{1}{x}$，而 $\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}dx$ 发散，所以原积分发散。
公式：$\ln(\cos t+\sin t)\sim t$ (当 $t\to 0$)
提示：注意 $\cos t+\sin t$ 的展开，$\ln(1+u)\sim u$ 当 $u\to 0$。
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