中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第2题
📝 题目
2．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛与条件收敛）．
（1） $\int_{1}^{+\infty} x^{2} \sin x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sqrt{x}}{100+\sqrt{x}} \cos x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sqrt{x} \sin x}{1+x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由于 $\left|x^{2} \sin x \mathrm{e}^{-x}\right| \leqslant x^{2} \mathrm{e}^{-x}$ ，且 $\int_{1}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ 收敛，因此 $\int_{1}^{+\infty} x^{2} \sin x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ 绝对收敛。
（2）由于 $u \in[1,+\infty),\left|\int_{1}^{u} \cos x \mathrm{~d} x\right| \leqslant 2$ ，而当 $x \rightarrow+\infty$ 时 $\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{100+\sqrt{x}}$ 在 $[1,+\infty)$ 单调趋于 0 ．根据 Dirichlet 判别法， $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sqrt{x}}{100+\sqrt{x}} \cos x \mathrm{~d} x$ 收敛。
$$
\left|\frac{\sqrt{x} \cos x}{100+\sqrt{x}}\right| \geqslant \frac{\sqrt{x} \cos ^{2} x}{100+\sqrt{x}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{100+\sqrt{x}}+\frac{\cos 2 x}{100+\sqrt{x}}\right), x \geqslant 1 .
$$
因 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{100+\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ 发散， $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos 2 x}{100+\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ 收敛，故 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sqrt{x} \cos ^{2} x}{100+\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ 发散。于是 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left|\frac{\sqrt{x} \cos x}{100+\sqrt{x}}\right| \mathrm{d} x$ 也发散．
综上， $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sqrt{x}}{100+\sqrt{x}} \cos x \mathrm{~d} x$ 为条件收敛。
（3）记 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sqrt{x} \sin x}{1+x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x} \sin x}{1+x} \mathrm{~d} x+\int_{1}^{+\infty} \frac{\sqrt{x} \sin x}{1+x} \mathrm{~d} x$ ．
因为 $F(A)=\int_{1}^{A} \sin x \mathrm{~d} x$ 有界，当 $x>1$ 时 $\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{1+x}$ 单调减少，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x}}{1+x}=0$ ．由 Dirichlet 判别法，积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sqrt{x} \sin x}{1+x} \mathrm{~d} x$ 收玫．因 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x} \sin x}{1+x} \mathrm{~d} x$ 为正常积分，于是积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sqrt{x} \sin x}{1+x} \mathrm{~d} x$ 收敛．
$$
\left|\frac{\sqrt{x} \sin x}{1+x}\right| \geqslant \frac{\sqrt{x} \sin ^{2} x}{2 x}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\cos 2 x}{\sqrt{x}}\right), x \geqslant 1
$$
因 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ 发散， $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos 2 x}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ 收敛，故 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\cos 2 x}{\sqrt{x}}\right) \mathrm{d} x$ 发散．于是积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sqrt{x}|\sin x|}{1+x} \mathrm{~d} x$ 发散．
综上，积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sqrt{x} \sin x}{1+x} \mathrm{~d} x$ 条件收玫。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断第一问的绝对收敛性
考虑被积函数的绝对值：$\left|x^{2} \sin x \mathrm{e}^{-x}\right| \leq x^{2} \mathrm{e}^{-x}$。由于指数衰减，积分 $\int_{1}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ 收敛（可通过分部积分或已知结果）。由比较判别法，原积分绝对收敛。
公式：$\left|x^{2} \sin x \mathrm{e}^{-x}\right| \leq x^{2} \mathrm{e}^{-x}$
提示：注意绝对值不等式放缩时，$|\sin x| \leq 1$。
步骤 2/5
目标：判断第二问的收敛性
令 $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{100+\sqrt{x}}$，$g(x)=\cos x$。$f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 单调递减趋于0，且 $\left|\int_{1}^{u} \cos x \mathrm{d} x\right| \leq 2$ 有界。由Dirichlet判别法，积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\sqrt{x}}{100+\sqrt{x}} \cos x \mathrm{~d} x$ 收敛。
公式：Dirichlet判别法：若 $f(x)$ 单调趋于0，$\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d}x$ 有界，则 $\int f g$ 收敛。
提示：验证 $f(x)$ 单调性：求导或直接观察。
步骤 3/5
目标：判断第二问的绝对收敛性
考虑绝对值：$\left|\frac{\sqrt{x} \cos x}{100+\sqrt{x}}\right| \geq \frac{\sqrt{x} \cos^{2} x}{100+\sqrt{x}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{x}}{100+\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x} \cos 2x}{100+\sqrt{x}}\right)$。由于 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\sqrt{x}}{100+\sqrt{x}} \mathrm{d}x$ 发散（与 $\int \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d}x$ 比较），而 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\sqrt{x} \cos 2x}{100+\sqrt{x}} \mathrm{d}x$ 收敛（Dirichlet），故 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\sqrt{x} \cos^{2} x}{100+\sqrt{x}} \mathrm{d}x$ 发散，从而原积分不绝对收敛。因此条件收敛。
公式：$\cos^{2}x = \frac{1+\cos 2x}{2}$
提示：注意 $\frac{\sqrt{x}}{100+\sqrt{x}} \sim 1$ 当 $x\to\infty$，但实际发散性需比较。
步骤 4/5
目标：判断第三问的收敛性
将积分拆分为 $\int_{0}^{1}$ 和 $\int_{1}^{+\infty}$。$\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x} \sin x}{1+x} \mathrm{d}x$ 是正常积分（被积函数在0处可去奇点）。对于 $\int_{1}^{+\infty}$，令 $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{1+x}$，$g(x)=\sin x$。$f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 单调递减趋于0，$\left|\int_{1}^{A} \sin x \mathrm{d}x\right| \leq 2$ 有界，由Dirichlet判别法知收敛。故原积分收敛。
公式：Dirichlet判别法
提示：注意 $x=0$ 处被积函数趋于0，不是瑕点。
步骤 5/5
目标：判断第三问的绝对收敛性
考虑绝对值：$\left|\frac{\sqrt{x} \sin x}{1+x}\right| \geq \frac{\sqrt{x} \sin^{2} x}{2x} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\cos 2x}{\sqrt{x}}\right)$ 对 $x\geq 1$。$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d}x$ 发散，$\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos 2x}{\sqrt{x}} \mathrm{d}x$ 收敛（Dirichlet），故 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\cos 2x}{\sqrt{x}}\right) \mathrm{d}x$ 发散，从而 $\int_{0}^{+\infty} \left|\frac{\sqrt{x} \sin x}{1+x}\right| \mathrm{d}x$ 发散。因此原积分条件收敛。
公式：$\sin^{2}x = \frac{1-\cos 2x}{2}$，放缩时注意分母 $1+x \leq 2x$ 对 $x\geq 1$。
提示：放缩时需确保不等式方向正确，且分母处理要合理。
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