中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第3题
📝 题目
3．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散）．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）$|F(A)|=\left|\int_{0}^{A} \sin x \mathrm{~d} x\right|=|\cos 0-\cos A| \leqslant 2$ ，即 $F(A)=\int_{0}^{A} \sin x \mathrm{~d} x$ 有界．又 $\displaystyle \frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 单调减小，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x}=0$ ．由 Dirichlet 判别法，反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ 收敛．
$$
\int_{0}^{+\infty}\left|\frac{\sin x}{x}\right| \mathrm{d} x \geqslant \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{+\infty} \frac{1-\cos 2 x}{2 x} \mathrm{~d} x
$$
由于 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{2 x} \mathrm{~d} x$ 发散， $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos 2 x}{2 x} \mathrm{~d} x$ 收敛，故 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x} \mathrm{~d} x$ 发散，从而 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left|\frac{\sin x}{x}\right| \mathrm{d} x$ 发散。
综上，积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ 条件收敛。
（2）记 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x+\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x=I_{1}+I_{2}$ ．
对 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．
当 $p<1$ 时，因 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x^{p}}=0$ ，所以 $x=0$ 是可去间断点，从而 $I_{1}$ 是正常积分．
当 $p=1$ 时，因 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$ ，所以 $x=0$ 是可去间断点，从而 $I_{1}$ 是正常积分．
当 $p>1$ 时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} x^{p-1} \frac{\sin x}{x^{p}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$ ．由柯西判别法，$\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 在 $11$ 时，$\displaystyle \frac{|\sin x|}{x^{p}} \leqslant \frac{1}{x^{p}}$ ，且 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 收敛，所以当 $p>1$ 时积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 绝对收敛。
当 $0
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：讨论积分(1)的收敛性
考虑积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$。令 $F(A)=\int_{0}^{A} \sin x \mathrm{~d} x$，则 $|F(A)|=|\cos 0-\cos A| \leq 2$，即 $F(A)$ 有界。函数 $\frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递减且趋于0。由 Dirichlet 判别法，该积分收敛。
公式：Dirichlet判别法
提示：注意 $F(A)$ 的有界性证明
步骤 2/6
目标：讨论积分(1)的绝对收敛性
考虑 $\int_{0}^{+\infty} \left|\frac{\sin x}{x}\right| \mathrm{d} x \geq \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x} \mathrm{d} x = \int_{0}^{+\infty} \frac{1-\cos 2x}{2x} \mathrm{d} x$。由于 $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{2x} \mathrm{d} x$ 发散，而 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\cos 2x}{2x} \mathrm{d} x$ 收敛，故 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x} \mathrm{d} x$ 发散，从而原积分绝对发散。
公式：不等式放缩
提示：注意 $\sin^2 x \leq |\sin x|$，但此处用 $\sin^2 x$ 是为了利用 $\cos 2x$ 的收敛性
步骤 3/6
目标：总结积分(1)的敛散性
由前两步，积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d} x$ 收敛但不绝对收敛，故条件收敛。
提示：条件收敛的定义：收敛但不绝对收敛
步骤 4/6
目标：讨论积分(2)在0附近的敛散性
将积分分为 $\int_{0}^{1}$ 和 $\int_{1}^{+\infty}$。对于 $I_1=\int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x^p} \mathrm{d} x$：当 $p<1$ 时，$\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x^p}=0$，为正常积分；当 $p=1$ 时，$\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x}=1$，也为正常积分；当 $p>1$ 时，$\lim_{x\to0} x^{p-1} \frac{\sin x}{x^p}=1$，由 Cauchy 判别法，$I_1$ 在 $1
公式：Cauchy判别法：$\lim_{x\to0^+} x^{\lambda} f(x)=l$，则 $\int_0^1 f(x)dx$ 当 $\lambda<1$ 时收敛，$\lambda\geq1$ 时发散
提示：注意 $p=1$ 是正常积分，不要误用判别法
步骤 5/6
目标：讨论积分(2)在无穷远处的敛散性
对于 $I_2=\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^p} \mathrm{d} x$：当 $p>1$ 时，$\left|\frac{\sin x}{x^p}\right| \leq \frac{1}{x^p}$，且 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} \mathrm{d} x$ 收敛，故 $I_2$ 绝对收敛；当 $0
公式：Dirichlet判别法
提示：注意 $p\leq0$ 时被积函数不趋于0，直接发散
步骤 6/6
目标：综合积分(2)的敛散性
综合 $I_1$ 和 $I_2$ 的结论：当 $p\leq0$ 时，$I_2$ 发散，故整体发散；当 $0
提示：注意 $p=2$ 时 $I_1$ 发散，不要遗漏
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