中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第4题
📝 题目
4．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散）．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ 。
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ 。（沈阳工大 2014，西安理工 2011，太原科技 2006，青岛大学 2009（ $p=1$ ），南京师大2002（ $p=2^{-1}$ ））
（3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos 2 x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} \sin \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin \sqrt{x}}{x^{q}} \mathrm{~d} x, q \geqslant 2^{-1}$ ．
（6） $\int_{1}^{+\infty} \sin x^{\alpha} \mathrm{d} x$ 。
（7） $\int_{1}^{+\infty} x \sin x^{4} \mathrm{~d} x$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）这是题 3（2）的 $\displaystyle I_{2}=\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 。当 $p>1$ 时， $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 绝对收敛；当 $0
1$ 时绝对收敛，在 $0
1$ 时绝对收敛，$\displaystyle \frac{1}{2}0$ 时， $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin t}{t^{1-\frac{1}{\alpha}}} \mathrm{~d} t$ 收玫，故当 $\alpha>1$ 时，积分 $\int_{1}^{+x} \sin x^{\alpha} \mathrm{d} x$ 条件收敛。
（7）令 $t=x^{4}$ ，则 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} x \sin x^{4} \mathrm{~d} x=\frac{1}{4} \int_{1}^{+\infty} t^{\frac{1}{4}} \frac{\sin t}{t^{1-\frac{1}{4}}} \mathrm{~d} t=\frac{1}{4} \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin t}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t$ ．由（1）知 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin t}{\sqrt{t}} \mathrm{~d} t$ 条件收玫，故积分 $\int_{1}^{+\infty} x \sin x^{4} \mathrm{~d} x$ 条件收敛。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析积分 (1) 的敛散性
考虑积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} dx$，$p>0$。当 $p>1$ 时，由于 $\left|\frac{\sin x}{x^{p}}\right| \leq \frac{1}{x^{p}}$，且 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} dx$ 收敛，故原积分绝对收敛。当 $0
公式：Dirichlet 判别法：若 $\int_{a}^{A} f(x) dx$ 有界，$g(x)$ 单调趋于 0，则 $\int_{a}^{\infty} f(x)g(x) dx$ 收敛。
提示：注意 $p>1$ 时绝对收敛，$00$）。
步骤 2/7
目标：分析积分 (2) 的敛散性
考虑 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos x}{x^{p}} dx$，$p>0$。与 (1) 类似，当 $p>1$ 时，$\left|\frac{\cos x}{x^{p}}\right| \leq \frac{1}{x^{p}}$，绝对收敛。当 $0
提示：注意与 (1) 的对称性，结论相同。
步骤 3/7
目标：分析积分 (3) 的敛散性
考虑 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos 2x}{x^{p}} dx$，$p>0$。令 $t=2x$，则 $dx = dt/2$，积分变为 $\int_{2}^{+\infty} \frac{\cos t}{(t/2)^{p}} \cdot \frac{dt}{2} = 2^{p-1} \int_{2}^{+\infty} \frac{\cos t}{t^{p}} dt$。由 (2) 知，$\int_{2}^{+\infty} \frac{\cos t}{t^{p}} dt$ 在 $p>1$ 时绝对收敛，$01$ 时绝对收敛，$0
公式：变量代换 $t=2x$，$dx = dt/2$。
提示：注意积分下限变为 2，但不影响敛散性。
步骤 4/7
目标：分析积分 (4) 的敛散性
考虑 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} \sin\frac{1}{x} dx$。令 $t=1/x$，则 $x=1/t$，$dx = -dt/t^2$，积分变为 $\int_{+\infty}^{1} t^{\alpha} \sin t \cdot (-dt/t^2) = \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin t}{t^{2-\alpha}} dt$。由 (1) 知，$\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin t}{t^{\beta}} dt$ 在 $\beta>1$ 时绝对收敛，$0<\beta\leq 1$ 时条件收敛，$\beta\leq 0$ 时发散。这里 $\beta = 2-\alpha$。因此当 $2-\alpha > 1$ 即 $\alpha < 1$ 时绝对收敛；当 $0 < 2-\alpha \leq 1$ 即 $1 \leq \alpha < 2$ 时条件收敛；当 $2-\alpha \leq 0$ 即 $\alpha \geq 2$ 时发散。
公式：变量代换 $t=1/x$，$dx = -dt/t^2$。
提示：注意 $\alpha$ 的范围：$\alpha<1$ 绝对收敛，$1\leq\alpha<2$ 条件收敛，$\alpha\geq2$ 发散。
步骤 5/7
目标：分析积分 (5) 的敛散性
考虑 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin\sqrt{x}}{x^{q}} dx$，$q\geq 1/2$。令 $t=\sqrt{x}$，则 $x=t^2$，$dx=2t dt$，积分变为 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin t}{t^{2q}} \cdot 2t dt = 2\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin t}{t^{2q-1}} dt$。由 (1) 知，$\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin t}{t^{\beta}} dt$ 在 $\beta>1$ 时绝对收敛，$0<\beta\leq 1$ 时条件收敛。这里 $\beta = 2q-1$。因此当 $2q-1 > 1$ 即 $q>1$ 时绝对收敛；当 $0 < 2q-1 \leq 1$ 即 $1/2 < q \leq 1$ 时条件收敛；当 $2q-1 \leq 0$ 即 $q \leq 1/2$ 时发散。但题目给定 $q \geq 1/2$，故 $q=1/2$ 时发散。
公式：变量代换 $t=\sqrt{x}$，$dx=2t dt$。
提示：注意 $q=1/2$ 时 $\beta=0$，积分发散。
步骤 6/7
目标：分析积分 (6) 的敛散性
考虑 $\int_{1}^{+\infty} \sin x^{\alpha} dx$。令 $t=x^{\alpha}$，则 $x=t^{1/\alpha}$，$dx = \frac{1}{\alpha} t^{1/\alpha -1} dt$，积分变为 $\int_{1}^{+\infty} \sin t \cdot \frac{1}{\alpha} t^{1/\alpha -1} dt = \frac{1}{\alpha} \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin t}{t^{1-1/\alpha}} dt$。由 (1) 知，$\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin t}{t^{\beta}} dt$ 在 $\beta>1$ 时绝对收敛，$0<\beta\leq 1$ 时条件收敛，$\beta\leq 0$ 时发散。这里 $\beta = 1-1/\alpha$。因此当 $1-1/\alpha > 1$ 即 $\alpha<0$ 时绝对收敛（但 $\alpha>0$ 通常考虑），当 $0 < 1-1/\alpha \leq 1$ 即 $\alpha > 1$ 时条件收敛，当 $1-1/\alpha \leq 0$ 即 $0<\alpha\leq 1$ 时发散。所以 $\alpha>1$ 时条件收敛。
公式：变量代换 $t=x^{\alpha}$，$dx = \frac{1}{\alpha} t^{1/\alpha -1} dt$。
提示：注意 $\alpha>1$ 时条件收敛，$0<\alpha\leq 1$ 时发散。
步骤 7/7
目标：分析积分 (7) 的敛散性
考虑 $\int_{1}^{+\infty} x \sin x^{4} dx$。令 $t=x^{4}$，则 $x=t^{1/4}$，$dx = \frac{1}{4} t^{-3/4} dt$，积分变为 $\int_{1}^{+\infty} t^{1/4} \sin t \cdot \frac{1}{4} t^{-3/4} dt = \frac{1}{4} \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin t}{t^{1/2}} dt$。由 (1) 知，$\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin t}{t^{1/2}} dt$ 中 $p=1/2$，属于 $0
公式：变量代换 $t=x^{4}$，$dx = \frac{1}{4} t^{-3/4} dt$。
提示：注意 $\frac{\sin t}{\sqrt{t}}$ 的积分条件收敛。
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