中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第5题
📝 题目
5．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散）
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{x \sin x}{1+x^{p}} \mathrm{~d} x, p \geqslant 0$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x+\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）当 $p>2$ 时，由于 $\displaystyle \frac{x|\sin x|}{1+x^{p}}<\frac{1}{x^{p-1}}$ ，故积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{x \sin x}{1+x^{p}} \mathrm{~d} x$ 绝对收敛．
当 $1
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析参数p>2时的绝对收敛性
当 $p>2$ 时，考虑被积函数的绝对值：$\left|\frac{x\sin x}{1+x^p}\right| \leq \frac{x}{1+x^p} \sim \frac{1}{x^{p-1}}$。由于 $p-1>1$，积分 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^{p-1}}dx$ 收敛，由比较判别法知原积分绝对收敛。
公式：$\frac{x|\sin x|}{1+x^p} \leq \frac{x}{1+x^p} \sim \frac{1}{x^{p-1}}$
提示：注意 $p>2$ 时 $p-1>1$，这是p-级数收敛的条件。
步骤 2/6
目标：分析参数1
当 $1
公式：Dirichlet判别法：若 $f(x)$ 单调趋于0，$\int_a^b g(x)dx$ 有界，则 $\int_a^b f(x)g(x)dx$ 收敛。
提示：验证 $f(x)$ 的单调性：求导 $f'(x)=\frac{1+x^p - p x^p}{(1+x^p)^2}=\frac{1+(1-p)x^p}{(1+x^p)^2}$，当 $x$ 充分大时 $f'(x)<0$。
步骤 3/6
目标：分析参数1
考虑绝对值积分：$\int_1^{+\infty} \frac{x|\sin x|}{1+x^p}dx \geq \int_1^{+\infty} \frac{x\sin^2 x}{1+x^p}dx = \frac12\int_1^{+\infty}\frac{x}{1+x^p}dx - \frac12\int_1^{+\infty}\frac{x\cos 2x}{1+x^p}dx$。由于 $\int_1^{+\infty}\frac{x}{1+x^p}dx$ 发散（因为 $p\leq 2$ 时 $\frac{x}{1+x^p}\sim \frac{1}{x^{p-1}}$，$p-1\leq 1$），而 $\int_1^{+\infty}\frac{x\cos 2x}{1+x^p}dx$ 由Dirichlet判别法收敛（$\frac{x}{1+x^p}$ 单调趋于0，$\cos 2x$ 的积分有界），因此绝对值积分发散。故原积分条件收敛。
公式：$\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$
提示：注意 $\int_1^{+\infty}\frac{x}{1+x^p}dx$ 的发散性：当 $p\leq 2$ 时，$p-1\leq 1$，p-级数发散。
步骤 4/6
目标：分析参数p≤1时的发散性
当 $p\leq 1$ 时，考虑区间 $[2n\pi, 2n\pi+\pi]$，$n$ 充分大。在此区间上 $\sin x \geq 0$，且 $\frac{x}{1+x^p} \geq \frac{2n\pi}{1+(2n\pi+\pi)^p} \sim \frac{2n\pi}{(2n\pi)^p} = \frac{(2n\pi)^{1-p}}{1}$，由于 $1-p\geq 0$，该下界不趋于0。于是 $\int_{2n\pi}^{2n\pi+\pi} \frac{x\sin x}{1+x^p}dx \geq \frac{2n\pi}{1+(2n\pi+\pi)^p} \int_{2n\pi}^{2n\pi+\pi} \sin x dx = \frac{2n\pi}{1+(2n\pi+\pi)^p} \cdot 2$，不趋于0。由Cauchy收敛准则知原积分发散。
公式：Cauchy收敛准则：$\int_a^{+\infty} f(x)dx$ 收敛当且仅当 $\forall \varepsilon>0, \exists A>a$，使得 $\forall A',A''>A$，有 $|\int_{A'}^{A''} f(x)dx|<\varepsilon$。
提示：注意 $\sin x$ 在 $[2n\pi, 2n\pi+\pi]$ 上非负，且积分值为2。
步骤 5/6
目标：化简第二问的积分形式
第二问：$\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x+\frac{1}{x}}dx = \int_1^{+\infty} \frac{x\sin x}{x^2+1}dx$。
公式：无
提示：注意分母有理化：$\frac{1}{x+1/x} = \frac{x}{x^2+1}$。
步骤 6/6
目标：利用第一问结论判断第二问敛散性
令 $p=2$，则 $\int_1^{+\infty} \frac{x\sin x}{1+x^2}dx$ 属于第一问中 $p=2$ 的情形（$1
公式：无
提示：注意 $p=2$ 时 $\frac{x}{1+x^2}$ 单调递减趋于0，且 $\int_1^A \sin x dx$ 有界，满足Dirichlet条件。
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