中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第6题

令 $t = x^p$，则 $x = t^{1/p}$，$dx = \frac{1}{p} t^{1/p - 1} dt$。代入原积分得： $$\int_0^{+\infty} \frac{\sin x^p}{x^q} dx = \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t^{q/p}} \cdot \frac{1}{p} t^{1/p - 1} dt = \frac{1}{p} \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t^{\frac{q-1}{p} + 1}} dt.$$

记 $\alpha = \frac{q-1}{p} + 1$，则积分化为 $\frac{1}{p} \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t^\alpha} dt$。该积分是经典的狄利克雷型积分，其敛散性已知： - 当 $0 < \alpha < 1$ 时，条件收敛； - 当 $1 < \alpha < 2$ 时，绝对收敛； - 其他情况发散。

由 $\alpha = \frac{q-1}{p} + 1$，代入敛散性条件： - 条件收敛：$0 < \frac{q-1}{p} + 1 < 1$，即 $-1 < \frac{q-1}{p} < 0$，解得 $1-p < q < 1$。 - 绝对收敛：$1 < \frac{q-1}{p} + 1 < 2$，即 $0 < \frac{q-1}{p} < 1$，解得 $1 < q < p+1$。 - 发散：其他情况，包括 $q \leq 1-p$ 或 $q \geq p+1$，以及 $q=1$ 时条件收敛？注意 $q=1$ 时 $\alpha=1$，积分发散（因为 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt$ 条件收敛？实际上 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt$ 是条件收敛的，但这里 $\alpha=1$ 对应 $q=1$，属于条件收敛边界？需要仔细：经典结论是 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t^\alpha} dt$ 当 $0<\alpha<1$ 条件收敛，$\alpha=1$ 时条件收敛（狄利克雷积分），$1<\alpha<2$ 绝对收敛，$\alpha\geq2$ 发散。所以 $\alpha=1$ 应归为条件收敛。因此条件收敛范围应包含 $q=1$。

综上，积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x^p}{x^q} dx$ 的敛散性为： - 当 $1-p < q \leq 1$ 时，条件收敛； - 当 $1 < q < p+1$ 时，绝对收敛； - 其他情况（$q \leq 1-p$ 或 $q \geq p+1$）发散。

对于第二问，$p=2$，代入第一问结果： - 条件收敛：$1-2 < q \leq 1$，即 $-1 < q \leq 1$； - 绝对收敛：$1 < q < 2+1$，即 $1 < q < 3$。

因此，$\int_0^{+\infty} \frac{\sin x^2}{x^q} dx$ 当 $1 < q < 3$ 时绝对收敛，当 $-1 < q \leq 1$ 时条件收敛，其他情况发散。但题目答案只给出 $10$？实际上题目中 $p>0, q>0$，所以 $q$ 为正数，因此条件收敛范围应为 $00$，且 $q<2$ 来自哪里？检查：绝对收敛条件 $11$ 时绝对收敛，但 $\alpha$ 不能太大，因为 $t=0$ 附近 $\sin t \sim t$，所以 $\frac{\sin t}{t^\alpha} \sim t^{1-\alpha}$，在0附近可积要求 $1-\alpha > -1$ 即 $\alpha<2$，所以绝对收敛要求 $1<\alpha<2$，即 $1<\frac{q+1}{2}<2$，得 $11$ 得 $q>1$，所以 $10$ 且 $p=2$ 时，$q$ 上限实际是2？检查原题："（2）$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x^{2}}{x^{q}} \mathrm{~d} x$。" 没有给出 $q$ 范围，但通常 $q>0$。可能答案中 $1

提示：注意 $p=2$ 时，$p+1=3$，但答案给出 $q<2$，可能是题目有额外条件或笔误。