中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第7题
📝 题目
7．讨论下列反常积分的敛散性．
（1） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x(\alpha>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x(\alpha>0)$ 。西南交大 2006）
（3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{|\cos x|}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x} \mathrm{~d} x, \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos ^{2} x}{x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）当 $\alpha>1$ 时，$\displaystyle \frac{\sin ^{2} x}{x^{\alpha}} \leqslant \frac{1}{x^{\alpha}}$ ，而 $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 收敛，所以当 $\alpha>1$ 时积分 $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 收敛。
当 $0<\alpha \leqslant 1$ 时， $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x=\int_{2}^{+\infty} \frac{1-\cos 2 x}{2 x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ ．由于 $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{2 x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 发散，而 $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{\cos 2 x}{2 x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 收敛 （由 Dirichlet 判别法知），因此 $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 发散．
（2）当 $\alpha>1$ 时，$\displaystyle \frac{|\sin x|}{x^{\alpha}} \leqslant \frac{1}{x^{\alpha}}$ ，而 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 收玫，所以当 $\alpha>1$ 时积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 收敛。
当 $0<\alpha \leqslant 1$ 时，$\displaystyle \frac{|\sin x|}{x^{\alpha}} \geqslant \frac{\sin ^{2} x}{x^{\alpha}}=\frac{1-\cos 2 x}{2 x^{\alpha}}$ ．由 Dirichlet 判别法得 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos 2 x}{2 x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 收玫，而 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{2 x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 发散，故 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 发散．由比较判别法知 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 发散。
（3）
$$
\frac{|\cos x|}{x} \geqslant \frac{\cos ^{2} x}{x}=\frac{\cos 2 x-1}{2 x} .
$$
由于 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{2 x} \mathrm{~d} x$ 发散，而 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos 2 x}{2 x} \mathrm{~d} x$ 收敛，故 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos ^{2} x}{x} \mathrm{~d} x$ 发散，进而 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{|\cos x|}{x} \mathrm{~d} x$ 发散。
（4）由于 $\displaystyle \frac{\sin ^{2} x}{x}=\frac{1-\cos 2 x}{2 x}, \frac{\cos ^{2} x}{x}=\frac{1+\cos 2 x}{2 x}=\frac{1}{2 x}+\frac{\cos 2 x}{2 x}$ ，且 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{2 x} \mathrm{~d} x$ 发散，而 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos 2 x}{2 x} \mathrm{~d} x$收敛，因此 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x} \mathrm{~d} x$ 及 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos ^{2} x}{x} \mathrm{~d} x$ 均发散．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析第(1)问：α>1时的敛散性
当 $\alpha>1$ 时，由于 $\sin^2 x \leq 1$，所以 $\frac{\sin^2 x}{x^\alpha} \leq \frac{1}{x^\alpha}$。而 $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha} dx$ 收敛（p-积分，p>1），由比较判别法知原积分收敛。
公式：$\frac{\sin^2 x}{x^\alpha} \leq \frac{1}{x^\alpha}$
提示：注意比较判别法要求被积函数非负，这里 $\sin^2 x \geq 0$，满足条件。
步骤 2/6
目标：分析第(1)问：0<α≤1时的敛散性
当 $0<\alpha\leq 1$ 时，利用恒等式 $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$，则 $\int_2^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x^\alpha} dx = \frac{1}{2}\int_2^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha} dx - \frac{1}{2}\int_2^{+\infty} \frac{\cos 2x}{x^\alpha} dx$。第一项发散（p-积分，p≤1），第二项由Dirichlet判别法收敛（因为 $\frac{1}{x^\alpha}$ 单调趋于0，$\cos 2x$ 的积分有界）。因此原积分发散。
公式：$\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$
提示：注意Dirichlet判别法的条件：$\frac{1}{x^\alpha}$ 单调递减趋于0，$\int_2^A \cos 2x dx$ 有界。
步骤 3/6
目标：分析第(2)问：α>1时的敛散性
当 $\alpha>1$ 时，$\frac{|\sin x|}{x^\alpha} \leq \frac{1}{x^\alpha}$，而 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha} dx$ 收敛，由比较判别法知原积分收敛。
公式：$\frac{|\sin x|}{x^\alpha} \leq \frac{1}{x^\alpha}$
提示：与第(1)问类似，注意被积函数非负。
步骤 4/6
目标：分析第(2)问：0<α≤1时的敛散性
当 $0<\alpha\leq 1$ 时，利用 $|\sin x| \geq \sin^2 x$（因为 $0\leq |\sin x|\leq 1$），所以 $\frac{|\sin x|}{x^\alpha} \geq \frac{\sin^2 x}{x^\alpha} = \frac{1-\cos 2x}{2x^\alpha}$。由第(1)问知，当 $0<\alpha\leq 1$ 时 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x^\alpha} dx$ 发散（注意积分下限不同，但敛散性相同），故由比较判别法知原积分发散。
公式：$|\sin x| \geq \sin^2 x$
提示：注意比较判别法：若 $f(x) \geq g(x) \geq 0$ 且 $\int g$ 发散，则 $\int f$ 发散。
步骤 5/6
目标：分析第(3)问的敛散性
利用 $|\cos x| \geq \cos^2 x$，则 $\frac{|\cos x|}{x} \geq \frac{\cos^2 x}{x} = \frac{1+\cos 2x}{2x}$。而 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{2x} dx$ 发散，$\int_1^{+\infty} \frac{\cos 2x}{2x} dx$ 由Dirichlet判别法收敛，所以 $\int_1^{+\infty} \frac{\cos^2 x}{x} dx$ 发散，进而原积分发散。
公式：$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$
提示：注意这里 $\cos^2 x$ 的分解与 $\sin^2 x$ 不同，符号有差异。
步骤 6/6
目标：分析第(4)问中两个积分的敛散性
对于 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x} dx$，$\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$，所以积分等于 $\frac{1}{2}\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx - \frac{1}{2}\int_1^{+\infty} \frac{\cos 2x}{x} dx$。第一项发散，第二项收敛，故原积分发散。
对于 $\int_1^{+\infty} \frac{\cos^2 x}{x} dx$，$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$，同理第一项发散，第二项收敛，故也发散。
公式：$\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$, $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$
提示：注意两个积分都是发散的，但它们的和 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x} dx$ 发散，而差收敛，这并不矛盾。
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