中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第8题

\section*{解题过程：} 显然在 $p \leqslant 0$ 时， $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \ln \left(1+\frac{\sin x}{x^{p}}\right) \mathrm{d} x$ 发散．下面只对 $p>0$ 时讨论． $$ \ln \left(1+\frac{\sin x}{x^{p}}\right)=\frac{\sin x}{x^{p}}-\frac{1}{2} \frac{\sin ^{2} x}{x^{2 p}}+o\left(\frac{\sin ^{2} x}{x^{2 p}}\right) . $$ 由题 4，6，7 知：当 $p>0$ 时， $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 收敛； $\displaystyle 0

\frac{1}{2}$ 时， $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{2 p}} \mathrm{~d} x$ 收敛；当 $p>1$ 时， $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 收敛。所以 （1）当 $p>1$ 时，由 $\displaystyle |f(x)| \leqslant \frac{|\sin x|}{x^{p}}+\frac{1}{2} \frac{\sin ^{2} x}{x^{2 p}}+\frac{1}{4} \frac{\sin ^{2} x}{x^{2 p}}$ 得 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 绝对收敛． （2）当 $\displaystyle \frac{1}{2}

\frac{1}{4} \frac{\sin ^{2} x}{x^{2 p}},(x \text { 充分大 }) . $$ 由于 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{2 p}} \mathrm{~d} x$ 发散，故 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left(-f(x)+\frac{\sin x}{x^{p}}\right) \mathrm{d} x$ 发散。而 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 收敛，故 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散。