中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第9题

数学分析早年真题

📝 题目

9．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散）． （1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin \left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ ． （2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．

💡 答案解析

\section*{解题过程：} （1）当 $p>1$ 时，因为 $\displaystyle \frac{1}{x^{p}}\left|\sin \left(x+\frac{1}{x}\right)\right| \leqslant \frac{1}{x^{p}}$ ，故积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \sin \left(x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ 绝对收敛． 当 $0

\frac{1}{\left(n \pi+\frac{\pi}{2}\right)^{p}} \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3}$ ，而级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(n \pi+\frac{\pi}{2}\right)^{p}}$ 发散，所 以积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}}\left|\sin \left(x+\frac{1}{x}\right)\right| \mathrm{d} x$ 发散． $$ \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \sin \left(x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x=\int_{1}^{+\infty}\left(\frac{\cos x}{x^{p}} \sin \frac{1}{x}+\frac{\sin x}{x^{p}} \cos \frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x $$ 注意到 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 及 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 均收玫，且 $\displaystyle \sin \frac{1}{x}$ 与 $\displaystyle \cos \frac{1}{x}$ 都是单调有界的，由阿贝尔判别法，积 分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \sin \left(x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ 收玫。所以积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \sin \left(x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ 条件收玫。 综上，当 $p>1$ 时 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \sin \left(x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ 绝对收敛，当 $0

1$ 时 $\displaystyle I_{2}=\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \sin \left(x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ 绝对收敛；当 $0

1$ ，即 $p<1$ 时，$\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}} \sin \left(x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ 绝对收敛，当 $1 \leqslant p<2$ 时， $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}} \sin \left(x+\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ 条件收敛。 综上，当 $0

📋 详细解题步骤

步骤 1/8
目标：分析积分(1)的绝对收敛性
对于积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^p} \, dx$，当 $p>1$ 时，由于 $\left|\frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^p}\right| \leq \frac{1}{x^p}$，且 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^p} \, dx$ 收敛，故原积分绝对收敛。
公式：$\left|\frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^p}\right| \leq \frac{1}{x^p}$
提示：注意比较判别法：被积函数绝对值小于等于一个收敛的积分，则绝对收敛。
步骤 2/8
目标：分析积分(1)在0
当 $0
公式：$\int_{n\pi+\frac{\pi}{6}}^{n\pi+\frac{\pi}{2}} \left|\frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^p}\right| \, dx \geq \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} \cdot \frac{1}{(n\pi+\frac{\pi}{2})^p}$
提示：注意选取合适的子区间，使得正弦函数有正下界，从而利用比较判别法。
步骤 3/8
目标：分析积分(1)在0
将积分变形：$\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^p} \, dx = \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos x \sin\frac{1}{x} + \sin x \cos\frac{1}{x}}{x^p} \, dx$。已知 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos x}{x^p} \, dx$ 和 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^p} \, dx$ 均收敛（Dirichlet判别法），且 $\sin\frac{1}{x}$ 和 $\cos\frac{1}{x}$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调有界，由Abel判别法知原积分收敛。结合上一步，原积分条件收敛。
公式：$\sin\left(x+\frac{1}{x}\right) = \cos x \sin\frac{1}{x} + \sin x \cos\frac{1}{x}$
提示：注意Abel判别法的条件：一个收敛的积分乘以一个单调有界函数仍收敛。
步骤 4/8
目标：总结积分(1)的敛散性
综上，当 $p>1$ 时，积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^p} \, dx$ 绝对收敛；当 $0
提示：注意区分绝对收敛和条件收敛的定义。
步骤 5/8
目标：将积分(2)分解为两部分
记 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^p} \, dx = \int_{0}^{1} \frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^p} \, dx + \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^p} \, dx = I_1 + I_2$。由(1)知 $I_2$ 在 $p>1$ 时绝对收敛，在 $0
提示：注意积分区间分为0到1和1到无穷，分别处理。
步骤 6/8
目标：变换积分I1
令 $t = \frac{1}{x}$，则 $x = \frac{1}{t}$，$dx = -\frac{1}{t^2} dt$，且当 $x=0$ 时 $t=+\infty$，$x=1$ 时 $t=1$。于是 $I_1 = \int_{+\infty}^{1} \frac{\sin\left(t+\frac{1}{t}\right)}{t^{-p}} \left(-\frac{1}{t^2}\right) dt = \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin\left(t+\frac{1}{t}\right)}{t^{2-p}} \, dt$。
公式：$I_1 = \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin\left(t+\frac{1}{t}\right)}{t^{2-p}} \, dt$
提示：注意换元后积分限的变化和符号处理。
步骤 7/8
目标：分析I1的敛散性
由(1)的结论，对于积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin\left(t+\frac{1}{t}\right)}{t^{2-p}} \, dt$，当 $2-p > 1$ 即 $p < 1$ 时绝对收敛；当 $0 < 2-p \leq 1$ 即 $1 \leq p < 2$ 时条件收敛；当 $p \geq 2$ 时发散。
提示：注意将(1)中的指数p替换为2-p。
步骤 8/8
目标：综合I1和I2得到积分(2)的敛散性
结合 $I_1$ 和 $I_2$ 的敛散性：当 $p<1$ 时，$I_1$ 绝对收敛，$I_2$ 条件收敛，故总和条件收敛；当 $1 \leq p < 2$ 时，$I_1$ 条件收敛，$I_2$ 条件收敛，总和条件收敛；当 $p \geq 2$ 时，$I_1$ 发散，$I_2$ 绝对收敛（$p>1$），总和发散。因此，当 $0 < p < 2$ 时，原积分条件收敛。
提示：注意条件收敛与绝对收敛的叠加：条件收敛加条件收敛可能条件收敛，但绝对收敛加发散发散。

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