中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第11题

\section*{解题过程：} （1）记 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \frac{\arctan x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x+\int_{1}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x \stackrel{\Delta}{=} I_{1}+I_{2}$ ． 对 $I_{1}$ ，由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\alpha-1} \cdot \frac{\arctan x}{x^{\alpha}}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\arctan x}{x}=1$ ，所以当 $\alpha-1<1$ ，即 $\alpha<2$ 时 $I_{1}$ 收敛，而当 $\alpha-1 \geqslant 1$ ，即 $\alpha \geqslant 2$ 时 $I_{1}$ 发散． 对 $I_{2}$ ，因为 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\alpha} \cdot \frac{\arctan x}{x^{\alpha}}=\frac{\pi}{2}$ ，所以当 $\alpha>1$ 时 $I_{2}$ 收敛，而当 $\alpha \leqslant 1$ 时 $I_{2}$ 发散。 综上，当且仅当． $1<\alpha<2$ 时反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{\arctan x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 收敛． （2）当 $p>1$ 时，$\displaystyle \frac{|\sin x \arctan x|}{x^{p}} \leqslant \frac{\pi}{2 x^{p}}$ ，而 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 收玫，所以当 $p>1$ 时积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x \arctan x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$绝对收敛。 当 $0

1$ 时，积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x \arctan x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 绝对收敛； 当 $0

2$ 时，$x=0$ 是被积函数的瑕点。由于 $\displaystyle \frac{\sin x}{x^{p}} \arctan x \sim \frac{1}{x^{p-2}}$ ，所以当 $p-2<1$ ，即 $p<3$ 时，$I_{1}$ 收敛，而当 $p-2 \geqslant 1$ ，即 $p \geqslant 3$ 时 $I_{1}$ 发散。 当 $p \leqslant 0$ 时， $\displaystyle \int_{2 n \pi+\frac{\pi}{4}}^{2 n \pi+\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x^{p}} \arctan x \mathrm{~d} x \geqslant \int_{2 n \pi+\frac{\pi}{4}}^{2 n \pi+\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{~d} x=\frac{1}{\sqrt{2}}>0$ ．由柯西收敛准则， $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x \arctan x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 发散． 综上，当 $0