中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第12题
📝 题目
12．判断下列反常积分的玫散性．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln \left(1+x^{\alpha}\right)}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）记 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{2} \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} \mathrm{~d} x+\int_{2}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} \mathrm{~d} x=I_{1}+I_{2}$ ．
对积分 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{2} \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．因 $\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} \sim \frac{1}{x^{p-1}}\left(x \rightarrow 0^{+}\right)$，故当 $p<2$ 时，积分 $I_{1}$ 收玫，当 $p \geqslant 2$ 时，积分 $I_{1}$ 发散。
下面讨论积分 $\displaystyle I_{2}=\int_{2}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的敛散性．
当 $p>1$ 时，$\exists \varepsilon_{0}>0$ ，使得 $p-\varepsilon_{0}>1$ ．由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{p-\varepsilon_{0}} \frac{\ln (1+x)}{x^{p}}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (1+x)}{x^{\varepsilon_{0}}}=0$ ，所以积分 $I_{2}$ 收玫。
当 $p \leqslant 1$ 时，由于 $\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} \geqslant \frac{1}{x}\left(x \geq \mathrm{e}-1\right.$ 时），所以积分 $I_{2}$ 发散．
综上，当 $12$ 时收玫，当 $\alpha \leqslant 2$ 时发散．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析积分（1）的奇点与无穷远行为
积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln(1+x)}{x^p} dx$ 有两个可能的奇点：$x=0$ 和 $x=+\infty$。将积分拆分为 $\int_0^2$ 和 $\int_2^{+\infty}$ 分别讨论。
提示：注意拆分点选择2，但也可以选择其他正数，不影响敛散性。
步骤 2/7
目标：判断积分在0附近的敛散性
当 $x \to 0^+$ 时，$\ln(1+x) \sim x$，因此被积函数 $\frac{\ln(1+x)}{x^p} \sim \frac{x}{x^p} = \frac{1}{x^{p-1}}$。积分 $\int_0^2 \frac{1}{x^{p-1}} dx$ 在 $p-1<1$ 即 $p<2$ 时收敛，在 $p \ge 2$ 时发散。
公式：$\ln(1+x) \sim x \ (x \to 0)$
提示：注意比较判别法：$\int_0^a \frac{1}{x^q} dx$ 收敛当且仅当 $q<1$。
步骤 3/7
目标：判断积分在无穷远处的敛散性
当 $x \to +\infty$ 时，$\ln(1+x)$ 增长缓慢。取 $\varepsilon_0>0$ 使得 $p-\varepsilon_0>1$，则 $\lim_{x\to+\infty} x^{p-\varepsilon_0} \frac{\ln(1+x)}{x^p} = \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln(1+x)}{x^{\varepsilon_0}} = 0$，因此存在 $M$ 使得 $\frac{\ln(1+x)}{x^p} \le \frac{1}{x^{p-\varepsilon_0}}$ 对 $x>M$ 成立。由于 $p-\varepsilon_0>1$，$\int_2^{+\infty} \frac{1}{x^{p-\varepsilon_0}} dx$ 收敛，故 $\int_2^{+\infty} \frac{\ln(1+x)}{x^p} dx$ 收敛。
公式：$\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln(1+x)}{x^{\varepsilon}} = 0$ 对任意 $\varepsilon>0$
提示：当 $p \le 1$ 时，$\frac{\ln(1+x)}{x^p} \ge \frac{1}{x}$ 对充分大的 $x$ 成立，而 $\int_2^{+\infty} \frac{1}{x} dx$ 发散，故 $I_2$ 发散。
步骤 4/7
目标：综合得到积分（1）的敛散性
由 $I_1$ 收敛条件 $p<2$ 和 $I_2$ 收敛条件 $p>1$，取交集得 $1
提示：注意边界情况：$p=1$ 时 $I_2$ 发散，$p=2$ 时 $I_1$ 发散。
步骤 5/7
目标：分析积分（2）的敛散性
积分 $\int_0^2 \frac{\ln(1+x)}{x^p} dx$ 仅有一个奇点 $x=0$。由步骤2知，当 $p<2$ 时收敛，当 $p \ge 2$ 时发散。
提示：注意积分上限2是有限数，无需考虑无穷远。
步骤 6/7
目标：分析积分（3）的敛散性
令 $t = x^\alpha$，则 $x = t^{1/\alpha}$，$dx = \frac{1}{\alpha} t^{1/\alpha - 1} dt$。积分变为 $\int_0^1 \frac{\ln(1+t)}{t^{3/\alpha}} \cdot \frac{1}{\alpha} t^{1/\alpha - 1} dt = \frac{1}{\alpha} \int_0^1 \frac{\ln(1+t)}{t^{1+2/\alpha}} dt$。
公式：$x = t^{1/\alpha}, \ dx = \frac{1}{\alpha} t^{1/\alpha - 1} dt$
提示：注意换元后积分限：$x$ 从0到1对应 $t$ 从0到1。
步骤 7/7
目标：利用（1）的结果判断（3）的敛散性
由（1）知，$\int_0^1 \frac{\ln(1+t)}{t^{q}} dt$ 在 $q<2$ 时收敛，这里 $q = 1+2/\alpha$。因此 $1+2/\alpha < 2$ 即 $2/\alpha < 1$，解得 $\alpha > 2$ 时收敛；$\alpha \le 2$ 时发散。
提示：注意（1）中积分上限是 $+\infty$，但这里上限是1，只需考虑0点奇性，因此条件相同。
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