中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第13题
📝 题目
13．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛与条件收敛）．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \sin x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{e}^{+\infty} \frac{\ln \ln x}{\ln x} \cos x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \sin x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{2} \frac{\ln x}{x} \sin x \mathrm{~d} x+\int_{2}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \sin x \mathrm{~d} x=I_{1}+I_{2}$ ．
（1）由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} \frac{\ln x}{x} \sin x=0$ ，所以 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{2} \frac{\ln x}{x} \sin x \mathrm{~d} x$ 收敛。
（2） $\int_{0}^{A} \sin x \mathrm{~d} x$ 有界，$\displaystyle \frac{\ln x}{x}$ 单调递减趋于零，由 Dirichlet 判别法，积分 $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \sin x \mathrm{~d} x$ 收敛。
又 $\displaystyle \left|\frac{\ln x}{x} \sin x\right| \geqslant \frac{\sin ^{2} x \ln x}{x}$ ，且 $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{|\ln x|}{x} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x=\int_{2}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \frac{1-\cos 2 x}{2} \mathrm{~d} x$ 发 散．由 比较判别
法， $\displaystyle \int_{2}^{+\infty}\left|\frac{\ln x}{x} \sin x\right| \mathrm{d} x$ 发散。于是无穷积分 $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \sin x \mathrm{~d} x$ 条件收敛。
因此无穷积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \sin x \mathrm{~d} x$ 条件收敛。
（2）$\forall u,\left|\int_{\mathrm{e}}^{u} \cos x \mathrm{~d} x\right|=|\sin u-\sin \mathrm{e}| \leqslant 2$ ．当 $x \geqslant \mathrm{e}^{\mathrm{e}^{2}}$ 时，$\displaystyle \frac{\ln \ln x}{\sqrt{\ln x}}$ 单调递减，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \ln x}{\ln x}=0$ ．由 Dirichlet 判别法，积分 $\displaystyle \int_{e}^{+\infty} \frac{\ln \ln x}{\ln x} \cos x \mathrm{~d} x$ 收敛。
$$
\left|\frac{\ln \ln x}{\ln x} \cos x\right| \geqslant \frac{\ln \ln x}{\ln x} \cos ^{2} x=\frac{\ln \ln x}{2 \ln x}-\frac{(\ln \ln x) \cos 2 x}{2 \ln x} .
$$
用 Dirichlet 判别法， $\displaystyle \int_{\mathrm{e}}^{+\infty} \frac{(\ln \ln x) \cos 2 x}{2 \ln x} \mathrm{~d} x$ 收敛，而 $\displaystyle \int_{\mathrm{e}}^{+\infty} \frac{\ln \ln x}{2 \ln x} \mathrm{~d} x$ 发散，进而 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{|\ln \ln x|}{2 x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ 发散。由比较判别法， $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left|\frac{(\ln \ln x)}{\ln x} \cos x\right| \mathrm{d} x$ 发散。故无穷积分 $\displaystyle \int_{e}^{+\infty} \frac{\ln \ln x}{\ln x} \cos x \mathrm{~d} x$ 条件收敛。
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：将积分分段处理
将原积分拆分为两个部分：$\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \sin x \, dx = \int_{0}^{2} \frac{\ln x}{x} \sin x \, dx + \int_{2}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \sin x \, dx = I_1 + I_2$。
提示：注意分段点选择2，因为$x=2$处函数无奇点，且便于后续判别。
步骤 2/8
目标：判断$I_1$的收敛性
考虑$x\to 0^+$时，$\frac{\ln x}{x} \sin x \sim \frac{\ln x}{x} \cdot x = \ln x$，但更精确地，由于$\lim_{x\to 0^+} \sqrt{x} \cdot \frac{\ln x}{x} \sin x = 0$，因此$x=0$不是瑕点，$I_1$为常义积分，收敛。
公式：$\lim_{x\to 0^+} \sqrt{x} \cdot \frac{\ln x}{x} \sin x = 0$
提示：注意$\ln x$在$x=0$附近趋于$-\infty$，但乘以$\sqrt{x}$后极限为0，说明瑕积分收敛。
步骤 3/8
目标：判断$I_2$的条件收敛性
对于$I_2 = \int_{2}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \sin x \, dx$，由于$\int_{2}^{A} \sin x \, dx$有界，且$\frac{\ln x}{x}$在$[2,+\infty)$上单调递减趋于0，由Dirichlet判别法，$I_2$收敛。
公式：Dirichlet判别法：若$\int_{a}^{A} f(x)\,dx$有界，$g(x)$单调趋于0，则$\int_{a}^{\infty} f(x)g(x)\,dx$收敛。
提示：验证$\frac{\ln x}{x}$单调性：求导得$\frac{1-\ln x}{x^2}$，当$x>e$时导数为负，故在$[2,+\infty)$上先增后减？实际上在$[2,e]$上递增，$[e,+\infty)$递减，但整体不是单调？注意Dirichlet判别法要求单调性，但可以分段处理：在$[2,e]$上有限区间不影响收敛性，在$[e,+\infty)$上单调递减。
步骤 4/8
目标：证明$I_2$不是绝对收敛
考虑$\left|\frac{\ln x}{x} \sin x\right| \ge \frac{\ln x}{x} \sin^2 x = \frac{\ln x}{x} \cdot \frac{1-\cos 2x}{2}$。由于$\int_{2}^{+\infty} \frac{\ln x}{2x} \, dx$发散（因为$\frac{\ln x}{x}$在无穷远处与$\frac{1}{x}$比较，$\int \frac{\ln x}{x} dx = \frac{1}{2}(\ln x)^2$发散），而$\int_{2}^{+\infty} \frac{\ln x}{2x} \cos 2x \, dx$由Dirichlet判别法收敛（$\int \cos 2x$有界，$\frac{\ln x}{x}$单调趋于0），因此$\int_{2}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \sin^2 x \, dx$发散，从而$\int_{2}^{+\infty} \left|\frac{\ln x}{x} \sin x\right| \, dx$发散。
公式：$\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$
提示：注意比较判别法：若$|f(x)| \ge g(x) \ge 0$且$\int g$发散，则$\int |f|$发散。这里$g(x)=\frac{\ln x}{x}\sin^2 x$。
步骤 5/8
目标：综合结论（1）
由以上，$I_1$收敛，$I_2$条件收敛，故原积分$\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \sin x \, dx$条件收敛。
提示：条件收敛指积分收敛但不绝对收敛。
步骤 6/8
目标：判断（2）的收敛性
对于$\int_{e}^{+\infty} \frac{\ln \ln x}{\ln x} \cos x \, dx$，由于$\int_{e}^{u} \cos x \, dx = \sin u - \sin e$有界，且$\frac{\ln \ln x}{\ln x}$在$x\ge e^{e^2}$时单调递减趋于0（因为导数$\frac{1-\ln \ln x}{x(\ln x)^2}$，当$x>e^{e}$时$\ln\ln x>1$，导数为负），由Dirichlet判别法，积分收敛。
公式：Dirichlet判别法
提示：注意单调性需要验证：$\frac{\ln\ln x}{\ln x}$的导数符号取决于$\ln\ln x$与1的大小，当$x>e^e$时单调递减。
步骤 7/8
目标：证明（2）不是绝对收敛
考虑$\left|\frac{\ln\ln x}{\ln x} \cos x\right| \ge \frac{\ln\ln x}{\ln x} \cos^2 x = \frac{\ln\ln x}{2\ln x} - \frac{\ln\ln x}{2\ln x} \cos 2x$。其中$\int_{e}^{+\infty} \frac{\ln\ln x}{2\ln x} \, dx$发散（因为$\frac{\ln\ln x}{\ln x} \sim \frac{1}{\ln x}$，而$\int \frac{dx}{\ln x}$发散），而$\int_{e}^{+\infty} \frac{\ln\ln x}{2\ln x} \cos 2x \, dx$由Dirichlet判别法收敛（$\int \cos 2x$有界，$\frac{\ln\ln x}{\ln x}$单调趋于0），因此$\int_{e}^{+\infty} \frac{\ln\ln x}{\ln x} \cos^2 x \, dx$发散，从而原积分不绝对收敛。
公式：$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$
提示：注意这里使用$\cos^2 x$而不是$\sin^2 x$，但原理相同。
步骤 8/8
目标：综合结论（2）
由以上，积分$\int_{e}^{+\infty} \frac{\ln\ln x}{\ln x} \cos x \, dx$收敛但不绝对收敛，故条件收敛。
提示：注意积分下限为$e$，不是0。
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