中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第14题
📝 题目
14．证明： $\int_{0}^{+\infty} \ln \left(1+\sin ^{2} x\right) \sin (\sin x) \mathrm{d} x=0$ ，并讨论 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln \left(1+\sin ^{2} x\right) \sin (\sin x)}{x} \mathrm{~d} x$ 的绝对收敛和条件收敛性．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
记 $f(x)=\ln \left(1+\sin ^{2} x\right) \sin (\sin x)$ ，则 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的函数，且在 $[-\pi, \pi]$ 上为奇函数．于是
$$
\int_{0}^{2 \pi} \ln \left(1+\sin ^{2} x\right) \sin (\sin x) \mathrm{d} x=\int_{-\pi}^{\pi} \ln \left(1+\sin ^{2} x\right) \sin (\sin x) \mathrm{d} x=0 .
$$
所以 $\int_{0}^{+\infty} \ln \left(1+\sin ^{2} x\right) \sin (\sin x) \mathrm{d} x=0$ ．
由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln \left(1+\sin ^{2} x\right) \sin (\sin x)}{x}=0$ ，所以 $x=0$ 为可去间断点．
由于 $\displaystyle \frac{1}{x}$ 单调递减， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x}=0, \int_{0}^{+\infty} \ln \left(1+\sin ^{2} x\right) \sin (\sin x) \mathrm{d} x$ 收敛．由 Abel 判别法，反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln \left(1+\sin ^{2} x\right) \sin (\sin x)}{x} \mathrm{~d} x$ 收玫．
下面用级数法证 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left|\frac{\ln \left(1+\sin ^{2} x\right) \sin (\sin x)}{x}\right| \mathrm{d} x$ 发散．由于
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{+\infty}\left|\frac{\ln \left(1+\sin ^{2} x\right) \sin (\sin x)}{x}\right| \mathrm{d} x & \geqslant \sum_{n=1}^{\infty} \int_{2 n \pi+\frac{\pi}{4}}^{2 n \pi+\frac{\pi}{2}} \frac{\ln \left(1+\sin ^{2} x\right) \sin (\sin x)}{x} \mathrm{~d} x>\sum_{n=1}^{\infty} \ln \frac{3}{2} \int_{2 n \pi+\frac{\pi}{4}}^{2 n \pi+\frac{\pi}{2}} \frac{\sin (\sin x)}{x} \mathrm{~d} x \\
& >\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{\pi} \ln \frac{3}{2} \int_{2 n \pi+\frac{\pi}{4}}^{2 n \pi+\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{\pi} \ln \frac{3}{2} \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{2 n \pi+\frac{\pi}{4}} \\
& =\frac{2}{\pi} \ln \frac{3}{2} \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n \pi+\frac{\pi}{4}} .
\end{aligned}
$$
由 Cauchy 收敛原理，积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left|\frac{\ln \left(1+\sin ^{2} x\right) \sin (\sin x)}{x}\right| \mathrm{d} x$ 发散。
综上， $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln \left(1+\sin ^{2} x\right) \sin (\sin x)}{x} \mathrm{~d} x$ 条件收敛。
注：当 $\displaystyle x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时，
$$
\frac{2 x}{\pi}<\sin x\frac{2}{\pi} \frac{\ln \left(1+\sin ^{2} x\right) \sin x}{x} .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明被积函数是周期奇函数
记 $f(x)=\ln\left(1+\sin^2 x\right)\sin(\sin x)$。由于 $\sin x$ 以 $2\pi$ 为周期，$\sin^2 x$ 也以 $2\pi$ 为周期，且 $\ln$ 和 $\sin$ 是函数复合，故 $f(x)$ 以 $2\pi$ 为周期。又因为 $\sin(-x)=-\sin x$，$\sin^2(-x)=\sin^2 x$，所以 $f(-x)=\ln(1+\sin^2 x)\sin(-\sin x)=-f(x)$，即 $f(x)$ 是奇函数。
提示：注意奇函数定义：$f(-x)=-f(x)$。
步骤 2/6
目标：计算一个周期内的积分
由于 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的奇函数，在对称区间 $[-\pi,\pi]$ 上积分为零：
$$\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx = 0.$$
因此，
$$\int_0^{2\pi} f(x)\,dx = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx = 0.$$
公式：奇函数在对称区间积分为零
提示：注意积分区间平移：$\int_0^{2\pi} f(x)dx = \int_{-\pi}^{\pi} f(x+\pi)dx$，但这里利用周期性直接得到。
步骤 3/6
目标：证明第一个积分为零
由于 $f(x)$ 以 $2\pi$ 为周期，且在一个周期内积分为零，则无穷积分收敛且为零：
$$\int_0^{+\infty} f(x)\,dx = \sum_{k=0}^\infty \int_{2k\pi}^{2(k+1)\pi} f(x)\,dx = 0.$$
提示：注意无穷积分收敛需要部分和极限存在，这里部分和恒为零。
步骤 4/6
目标：分析第二个积分的收敛性
考虑 $\displaystyle I = \int_0^{+\infty} \frac{f(x)}{x}\,dx$。首先，$x=0$ 是被积函数的可去间断点，因为
$$\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln(1+\sin^2 x)\sin(\sin x)}{x} = \lim_{x\to 0^+} \frac{\ln(1+x^2)\cdot x}{x} = 0,$$
所以积分下限可视为正常积分。其次，$\int_0^{+\infty} f(x)\,dx$ 收敛，且 $1/x$ 单调递减趋于零，由 Abel 判别法，$I$ 收敛。
公式：Abel 判别法：若 $\int_a^\infty g(x)dx$ 收敛，$h(x)$ 单调有界，则 $\int_a^\infty g(x)h(x)dx$ 收敛。
提示：注意验证 $1/x$ 在 $[\delta,+\infty)$ 上单调递减趋于零。
步骤 5/6
目标：证明绝对收敛性不成立
考虑 $\displaystyle \int_0^{+\infty} \left|\frac{f(x)}{x}\right| dx$ 的发散性。取区间 $[2n\pi+\pi/4, 2n\pi+\pi/2]$，在此区间上 $\sin x \in [\sqrt{2}/2, 1]$，故 $\sin^2 x \in [1/2, 1]$，$\ln(1+\sin^2 x) \ge \ln(3/2)$。同时 $\sin(\sin x) \ge \sin(\sqrt{2}/2) > \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{\pi}$（利用 $\sin x \ge 2x/\pi$ 在 $[0,\pi/2]$）。另外 $x \le 2n\pi+\pi/2$，所以
$$\left|\frac{f(x)}{x}\right| \ge \frac{\ln(3/2)\cdot \frac{\sqrt{2}}{\pi}}{2n\pi+\pi/2} = \frac{\sqrt{2}\ln(3/2)}{\pi(2n\pi+\pi/2)}.$$
积分区间长度为 $\pi/4$，因此
$$\int_{2n\pi+\pi/4}^{2n\pi+\pi/2} \left|\frac{f(x)}{x}\right| dx \ge \frac{\sqrt{2}\ln(3/2)}{\pi(2n\pi+\pi/2)} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}\ln(3/2)}{4(2n\pi+\pi/2)}.$$
求和 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n\pi+\pi/2}$ 发散（与调和级数比较），故原积分发散。
公式：比较判别法：若 $|g(x)| \ge h(x) \ge 0$ 且 $\int h$ 发散，则 $\int |g|$ 发散。
提示：注意区间选取要保证被积函数有正下界，且长度固定。
步骤 6/6
目标：总结条件收敛性
由以上，$\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\ln(1+\sin^2 x)\sin(\sin x)}{x} dx$ 收敛但不绝对收敛，故条件收敛。
提示：条件收敛的定义：收敛但不绝对收敛。
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