中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第15题
📝 题目
15．讨论积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x|\sin x|}$ 的敛散性．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
因为当 $x \geqslant 0$ 时，$\displaystyle \frac{1}{1+x|\sin x|} \geqslant \frac{1}{1+x}$ ，且积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x$ 发散，由比较判别法可知， $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x|\sin x|}$ 发散。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析被积函数性质
考虑被积函数 $f(x)=\frac{1}{1+x|\sin x|}$。由于 $|\sin x|\leq 1$，有 $1+x|\sin x|\leq 1+x$，因此 $f(x)\geq \frac{1}{1+x}$。
公式：$\frac{1}{1+x|\sin x|} \geq \frac{1}{1+x}$
提示：注意不等式方向：分母越小，分数越大。
步骤 2/5
目标：选择比较函数
选取比较函数 $g(x)=\frac{1}{1+x}$。该函数在 $[0,+\infty)$ 上非负且连续。
公式：$g(x)=\frac{1}{1+x}$
提示：比较函数需简单且已知敛散性。
步骤 3/5
目标：判断比较函数的敛散性
计算积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x} \mathrm{d}x$。由于 $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x} \mathrm{d}x = \lim_{b\to +\infty} \ln(1+b) = +\infty$，该积分发散。
公式：$\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x} \mathrm{d}x = \lim_{b\to +\infty} \ln(1+b) = +\infty$
提示：注意广义积分发散的定义：极限不存在或为无穷。
步骤 4/5
目标：应用比较判别法
由比较判别法，若 $0\leq g(x)\leq f(x)$ 且 $\int g(x)\mathrm{d}x$ 发散，则 $\int f(x)\mathrm{d}x$ 也发散。这里 $f(x)\geq g(x)$，且 $\int g$ 发散，故原积分发散。
公式：比较判别法：若 $0\leq g(x)\leq f(x)$ 且 $\int g$ 发散，则 $\int f$ 发散。
提示：注意不等式方向：发散时需被积函数大于等于发散函数。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{1+x|\sin x|}$ 发散。
提示：最终结论需明确。
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