中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第16题
📝 题目
16．讨论下列积分的敛散性．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha}|\sin x|}(\alpha>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha} \sin ^{2} x}, \alpha \in(-\infty,+\infty)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）情形 1：$\alpha \leqslant 1$ ．
因为当 $x \geqslant 0$ 时，$\displaystyle \frac{1}{1+x^{\alpha}|\sin x|} \geqslant \frac{1}{1+x^{\alpha}}$ ，而积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 发散，由比较判别法可知 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha}|\sin x|}$ 发散．
情形2：$\alpha>1$ 。
考虑级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{n \pi}^{n \pi+\pi} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha}|\sin x|}$ ．记 $\displaystyle u_{n}=\int_{n \pi}^{n \pi+\pi} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha}|\sin x|}$ ：令 $x=n \pi+t$ ，则
$$
u_{n}=\int_{n \pi}^{n \pi+\pi} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha}|\sin x|}=\int_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} t}{1+(n \pi+t)^{\alpha}|\sin t|}=\int_{0}^{\frac{1}{2} \pi} \frac{\mathrm{~d} t}{1+(n \pi+t)^{\alpha} \sin t}+\int_{\frac{1}{2} \pi}^{\pi} \frac{\mathrm{d} t}{1+(n \pi+t)^{\alpha}|\sin t|}
$$
又令 $t=\pi-x$ ，则
$$
\int_{\frac{1}{2} \pi}^{\pi} \frac{\mathrm{d} t}{1+(n \pi+t)^{\alpha}|\sin t|}=\int_{\frac{1}{2} \pi}^{0} \frac{-\mathrm{d} x}{1+(n \pi+\pi-x)^{\alpha}|\sin x|}=\int_{0}^{\frac{1}{2} \pi} \frac{\mathrm{~d} x}{1+((n+1) \pi-x)^{\alpha} \sin x} .
$$
于是 $\displaystyle \quad \sum_{n=1}^{\infty} \int_{n \pi}^{n \pi+\pi} \frac{d x}{1+x^{\alpha}|\sin x|}=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{1}{2} \pi} \frac{d t}{1+(n \pi+t)^{\alpha} \sin t}+\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{1}{2} \pi} \frac{d x}{1+((n+1) \pi-x)^{\alpha} \sin x}$ ．
由于 $\displaystyle 01$ 时，$\exists \varepsilon_{0}>0$ ，使得 $\alpha-\varepsilon_{0}>1$ ．由于
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} n^{\alpha-\varepsilon_{0}} \frac{1}{n^{\alpha}} \ln \left(1+\beta n^{\alpha}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{\varepsilon_{0}}} \ln \left(1+\beta n^{\alpha}\right)=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x^{\varepsilon_{0}}} \ln \left(1+\beta x^{\alpha}\right)=0,
$$
所以级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} \ln \left(1+\beta n^{\alpha}\right)$ 收玫，进而级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{1}{2} \pi} \frac{\mathrm{~d} t}{1+(n \pi+t)^{\alpha}|\sin t|}$ 收敛．
对 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{1}{2} \pi} \frac{\mathrm{~d} x}{1+((n+1) \pi-x)^{\alpha}|\sin x|}$ ，有
$$
\frac{1}{1+((n+1) \pi-t)^{\alpha}|\sin t|}=\frac{1}{1+(n \pi+(\pi-t))^{\alpha}|\sin t|} \leqslant \frac{1}{1+(n \pi)^{\alpha} \frac{2}{\pi} t} .
$$
于是 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{1}{2} \pi} \frac{\mathrm{~d} x}{1+((n+1) \pi-x)^{\alpha}|\sin x|}$ 收玫．因此当 $\alpha>1$ 时，积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha}|\sin x|}$ 收敛．
综上，当 $\alpha \leqslant 1$ 时积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha}|\sin x|}$ 发散，当 $\alpha>1$ 时，积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha}|\sin x|}$ 收玫．
（2）当 $\alpha \leqslant 1$ 时，因 $\displaystyle \frac{1}{1+x^{\alpha} \sin ^{2} x} \geqslant \frac{1}{1+x^{\alpha}}, x \geqslant 0$ ，且积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 发散，由比较判别法， $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha} \sin ^{2} x}$ 发散．
当 $\alpha>1$ 时，考虑级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{n \pi}^{n \pi+\pi} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha} \sin ^{2} x}$ ．记 $\displaystyle u_{n}=\int_{n \pi}^{n \pi+\pi} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha} \sin ^{2} x}$ ．令 $x=n \pi+t$ ，则
$$
u_{n}=\int_{n \pi}^{n \pi+\pi} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha} \sin ^{2} x}=\int_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} t}{1+(n \pi+t)^{\alpha} \sin ^{2} t}=\int_{0}^{\frac{1}{2} \pi} \frac{\mathrm{~d} t}{1+(n \pi+t)^{\alpha} \sin ^{2} t}+\int_{\frac{1}{2} \pi}^{\pi} \frac{\mathrm{d} t}{1+(n \pi+t)^{\alpha} \sin ^{2} t} .
$$
令 $t=\pi-x$ ，则
$$
\int_{\frac{1}{2} \pi}^{\pi} \frac{\mathrm{d} t}{1+(n \pi+t)^{\alpha} \sin ^{2} t}=\int_{\frac{1}{2} \pi}^{0} \frac{-\mathrm{d} x}{1+(n \pi+\pi-x)^{\alpha} \sin ^{2} x}=\int_{0}^{\frac{1}{2} \pi} \frac{\mathrm{~d} x}{1+((n+1) \pi-x)^{\alpha} \sin ^{2} x} .
$$
于是
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \int_{n \pi}^{n \pi+\pi} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha} \sin ^{2} x}=\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{1}{2} \pi} \frac{\mathrm{~d} x}{1+(n \pi+t)^{\alpha} \sin ^{2} x}+\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{1}{2} \pi} \frac{\mathrm{~d} x}{1+((n+1) \pi-x)^{\alpha} \sin ^{2} x} .
$$
由于 $\displaystyle 01$ 的敛散性．
情况 1：$\alpha=2$ 。
由 $\displaystyle \frac{1}{1+(n \pi+t)^{2} \sin ^{2} t}>\frac{1}{1+(n \pi+t)^{2} t^{2}} \geqslant \frac{1}{1+\left(n \pi+\frac{\pi}{2}\right)^{2} t^{2}}$ 得
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+(n \pi+t)^{2} \sin ^{2} t} \mathrm{~d} t>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\left(n \pi+\frac{\pi}{2}\right)^{2} t^{2}} \mathrm{~d} t=\frac{1}{n \pi+\frac{\pi}{2}} \arctan \left[\left(n \pi+\frac{\pi}{2}\right) \frac{\pi}{2}\right] .
$$
因为 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\frac{n}{n \pi+\frac{\pi}{2}} \arctan \left[\left(n \pi+\frac{\pi}{2}\right) \frac{\pi}{2}\right]\right\}=\frac{1}{\pi}$ ，故级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \pi+\frac{\pi}{2}} \arctan \left[\left(n \pi+\frac{\pi}{2}\right) \frac{\pi}{2}\right]$ 发散，从而反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{2} \sin ^{2} x}$ 发散．
情况 $2: 1<\alpha<2$ 。
对 $x \in(1,+\infty)$ ，有 $\displaystyle \frac{1}{1+x^{\alpha} \sin ^{2} x} \geqslant \frac{1}{1+x^{2} \sin ^{2} x}$ ，而积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2} \sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ 发散，由比较判别法， $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha} \sin ^{2} x}$ 发散，进而 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha} \sin ^{2} x}$ 发散。
情况3：$\alpha>2$ 。
由 $\displaystyle \frac{1}{1+(n \pi+t)^{\alpha} \sin ^{2} t} \leqslant \frac{1}{1+n^{\alpha} \pi^{\alpha}\left(\frac{2}{\pi}\right)^{2} t^{2}}=\frac{1}{1+n^{\alpha} \beta t^{2}}$ 有
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+(n \pi+t)^{\alpha} \sin ^{2} t} \mathrm{~d} t \leqslant \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+n^{\alpha} \beta t^{2}} \mathrm{~d} t=\frac{1}{\sqrt{n^{\alpha} \beta}} \frac{\pi}{2}=\frac{1}{\sqrt{\beta}} \frac{\pi}{2} \frac{1}{n^{\frac{\alpha}{2}}} \text {, 其中 } \beta=\pi^{\alpha}\left(\frac{2}{\pi}\right)^{2} \text {. }
$$
由于级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{\alpha}{2}}}$ 在 $\alpha>2$ 收玫，因此级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{1}{2} \pi} \frac{\mathrm{~d} t}{1+(n \pi+t)^{\alpha} \sin ^{2} t}$ 收玫。
同理 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{1}{2} \pi} \frac{\mathrm{~d} x}{1+((n+1) \pi-x)^{\alpha} \sin ^{2} x}$ 收敛。
因此当 $\alpha>2$ 时，积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha} \sin ^{2} x}$ 收敛．
综上，当 $\alpha \leqslant 2$ 时积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha} \sin ^{2} x}$ 发散，当 $\alpha>2$ 时积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha} \sin ^{2} x}$ 收玫．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析积分（1）在α≤1时的敛散性
当 $\alpha \leq 1$ 时，对于 $x \geq 0$，有 $\frac{1}{1+x^{\alpha}|\sin x|} \geq \frac{1}{1+x^{\alpha}}$。由于积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{\alpha}} dx$ 发散（因为 $\alpha \leq 1$ 时，$\frac{1}{1+x^{\alpha}} \sim \frac{1}{x^{\alpha}}$ 且 $\alpha \leq 1$ 发散），由比较判别法，原积分发散。
公式：\frac{1}{1+x^{\alpha}|\sin x|} \geq \frac{1}{1+x^{\alpha}}
提示：注意比较判别法要求非负函数，这里被积函数非负。
步骤 2/8
目标：分析积分（1）在α>1时的敛散性：转化为级数
当 $\alpha > 1$ 时，考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$，其中 $u_n = \int_{n\pi}^{n\pi+\pi} \frac{dx}{1+x^{\alpha}|\sin x|}$。令 $x = n\pi + t$，则 $u_n = \int_0^\pi \frac{dt}{1+(n\pi+t)^{\alpha}|\sin t|}$。将区间 $[0,\pi]$ 分为 $[0,\pi/2]$ 和 $[\pi/2,\pi]$，并利用对称性 $t \to \pi - x$ 将第二部分化为 $[0,\pi/2]$ 上的积分。
公式：u_n = \int_0^{\pi/2} \frac{dt}{1+(n\pi+t)^{\alpha}\sin t} + \int_0^{\pi/2} \frac{dx}{1+((n+1)\pi-x)^{\alpha}\sin x}
提示：注意 $|\sin t|$ 在 $[0,\pi/2]$ 上为 $\sin t$，在 $[\pi/2,\pi]$ 上为 $\sin(\pi-t)$。
步骤 3/8
目标：估计级数通项的上界
在 $0 < t < \pi/2$ 时，有 $\frac{2}{\pi}t < \sin t < t$，因此 $\frac{1}{1+(n\pi+t)^{\alpha}|\sin t|} \leq \frac{1}{1+\frac{2}{\pi}t (n\pi+t)^{\alpha}} \leq \frac{1}{1+\frac{2}{\pi}(n\pi)^{\alpha} t}$。积分得 $\int_0^{\pi/2} \frac{dt}{1+\frac{2}{\pi}(n\pi)^{\alpha} t} = \frac{\pi}{2\pi^{\alpha}} \frac{1}{n^{\alpha}} \ln(1+\beta n^{\alpha})$，其中 $\beta = \frac{\pi}{2}\pi^{\alpha}$。
公式：\int_0^{\pi/2} \frac{dt}{1+\frac{2}{\pi}(n\pi)^{\alpha} t} = \frac{\pi}{2\pi^{\alpha}} \frac{1}{n^{\alpha}} \ln(1+\beta n^{\alpha})
提示：注意积分时 $t$ 的系数，不要遗漏常数。
步骤 4/8
目标：判断级数的收敛性
考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} \ln(1+\beta n^{\alpha})$。当 $\alpha > 1$ 时，取 $\varepsilon_0 > 0$ 使 $\alpha - \varepsilon_0 > 1$，则 $\lim_{n\to\infty} n^{\alpha-\varepsilon_0} \frac{1}{n^{\alpha}} \ln(1+\beta n^{\alpha}) = 0$，故该级数收敛。因此 $\sum_{n=1}^{\infty} \int_0^{\pi/2} \frac{dt}{1+(n\pi+t)^{\alpha}|\sin t|}$ 收敛。类似地，另一部分也收敛，从而原积分收敛。
公式：\lim_{n\to\infty} n^{\alpha-\varepsilon_0} \frac{1}{n^{\alpha}} \ln(1+\beta n^{\alpha}) = 0
提示：注意比较判别法：若 $a_n \leq b_n$ 且 $\sum b_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 收敛。这里需要确保上界级数收敛。
步骤 5/8
目标：总结积分（1）的敛散性
综上，当 $\alpha \leq 1$ 时积分发散，当 $\alpha > 1$ 时积分收敛。
步骤 6/8
目标：分析积分（2）在α≤1时的敛散性
当 $\alpha \leq 1$ 时，有 $\frac{1}{1+x^{\alpha}\sin^2 x} \geq \frac{1}{1+x^{\alpha}}$，而 $\int_0^{+\infty} \frac{dx}{1+x^{\alpha}}$ 发散，故原积分发散。
公式：\frac{1}{1+x^{\alpha}\sin^2 x} \geq \frac{1}{1+x^{\alpha}}
提示：注意 $\sin^2 x \leq 1$，因此分母变小，分数变大。
步骤 7/8
目标：分析积分（2）在α>1时的敛散性：转化为级数并估计
当 $\alpha > 1$ 时，类似地考虑级数 $\sum u_n$，其中 $u_n = \int_{n\pi}^{n\pi+\pi} \frac{dx}{1+x^{\alpha}\sin^2 x}$。同样化为 $[0,\pi/2]$ 上的积分。利用 $\frac{2}{\pi}t < \sin t < t$，有 $\frac{1}{1+(n\pi+t)^{\alpha}\sin^2 t} \leq \frac{1}{1+(n\pi+t)^{\alpha}(\frac{2}{\pi}t)^2}$。分三种情况讨论：$\alpha=2$，$1<\alpha<2$，$\alpha>2$。
公式：\frac{1}{1+(n\pi+t)^{\alpha}\sin^2 t} \leq \frac{1}{1+(n\pi+t)^{\alpha}(\frac{2}{\pi}t)^2}
提示：注意 $\sin^2 t$ 在 $0$ 附近是 $t^2$ 量级，因此需要精细估计。
步骤 8/8
目标：分别讨论α=2, 1<α<2, α>2时的敛散性
当 $\alpha=2$ 时，利用下界 $\frac{1}{1+(n\pi+t)^2\sin^2 t} \geq \frac{1}{1+(n\pi+\pi/2)^2 t^2}$，积分得 $\frac{1}{n\pi+\pi/2}\arctan((n\pi+\pi/2)\pi/2)$，其级数发散，故原积分发散。当 $1<\alpha<2$ 时，有 $\frac{1}{1+x^{\alpha}\sin^2 x} \geq \frac{1}{1+x^2\sin^2 x}$，而 $\int_1^{+\infty} \frac{dx}{1+x^2\sin^2 x}$ 发散，故原积分发散。当 $\alpha>2$ 时，利用上界 $\frac{1}{1+(n\pi+t)^{\alpha}\sin^2 t} \leq \frac{1}{1+n^{\alpha}\pi^{\alpha}(\frac{2}{\pi})^2 t^2}$，积分得 $\frac{1}{\sqrt{n^{\alpha}\beta}}\frac{\pi}{2}$，其中 $\beta=\pi^{\alpha}(\frac{2}{\pi})^2$，级数 $\sum \frac{1}{n^{\alpha/2}}$ 当 $\alpha>2$ 时收敛，故原积分收敛。
公式：\int_0^{\pi/2} \frac{dt}{1+n^{\alpha}\beta t^2} = \frac{1}{\sqrt{n^{\alpha}\beta}} \frac{\pi}{2}
提示：注意 $\alpha=2$ 时下界估计的积分发散，$1<\alpha<2$ 时利用比较判别法，$\alpha>2$ 时上界级数收敛。
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