中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第17题
📝 题目
17．讨论积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{\sin x} \sin 2 x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的绝对收敛和条件收敛．
💡 答案解析
解题过程：
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{\sin x} \sin 2 x}{x^{p}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{\sin x} \sin 2 x}{x^{p}} \mathrm{~d} x+\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{\sin x} \sin 2 x}{x^{p}} \mathrm{~d} x=I_{1}+I_{2}
$$
对积分 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{\sin x} \sin 2 x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．由于 $\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{\sin x} \sin 2 x}{x^{p}} \sim \frac{2}{x^{p-1}}\left(x \rightarrow 0^{+}\right)$，故当 $p<2$ 时，积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{\sin x} \sin 2 x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 收玫，在其余情况下积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{\sin x} \sin 2 x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 发散。
对积分 $\displaystyle I_{2}=\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{\sin x} \sin 2 x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．
（1）当 $10$ 。由柯西收敛准则， $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{\sin x} \sin 2 x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$发散．
综上，当 $1
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将积分拆分为两部分
将原积分拆分为在 $[0,1]$ 和 $[1,+\infty)$ 上的两个积分：
$$\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{\sin x} \sin 2x}{x^{p}} \mathrm{~d} x = \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{\sin x} \sin 2x}{x^{p}} \mathrm{~d} x + \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{\sin x} \sin 2x}{x^{p}} \mathrm{~d} x = I_1 + I_2.$$
提示：注意拆分点选择为1，因为x=0是可能的奇点，而无穷远处需要单独处理。
步骤 2/7
目标：讨论 $I_1$ 的收敛性
当 $x \to 0^+$ 时，$\mathrm{e}^{\sin x} \sim 1$，$\sin 2x \sim 2x$，因此被积函数 $\sim \frac{2x}{x^p} = \frac{2}{x^{p-1}}$。由 $\int_0^1 \frac{1}{x^{p-1}} dx$ 在 $p-1<1$ 即 $p<2$ 时收敛，故 $I_1$ 当 $p<2$ 时收敛，当 $p \ge 2$ 时发散。
公式：$\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha} dx$ 收敛当且仅当 $\alpha<1$。
提示：注意等价无穷小替换时需确保因子非零，此处 $\mathrm{e}^{\sin x}$ 趋于1，没问题。
步骤 3/7
目标：讨论 $I_2$ 的绝对收敛性（$p>1$）
当 $p>1$ 时，$|\frac{\mathrm{e}^{\sin x} \sin 2x}{x^p}| \le \frac{\mathrm{e}}{x^p}$，而 $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{e}}{x^p} dx$ 收敛（$p>1$），故 $I_2$ 绝对收敛。结合 $I_1$ 的收敛条件 $p<2$，得 $1
公式：比较判别法：$|f(x)| \le g(x)$ 且 $\int g$ 收敛则 $\int f$ 绝对收敛。
提示：注意 $\mathrm{e}^{\sin x} \le \mathrm{e}$，$|\sin 2x| \le 1$。
步骤 4/7
目标：讨论 $I_2$ 的条件收敛性（$0
当 $0
公式：Dirichlet判别法：若 $g(x)$ 单调趋于0，$\int_a^b f(x)dx$ 有界，则 $\int_a^b f(x)g(x)dx$ 收敛。
提示：需验证 $\int_1^A \mathrm{e}^{\sin x} \sin 2x dx$ 的有界性，可通过原函数计算。
步骤 5/7
目标：证明 $0
考虑 $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{\sin x}|\sin 2x|}{x^p} dx$，将其放缩：
$$\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{\sin x}|\sin 2x|}{x^p} dx \ge \int_\pi^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{\sin x}|\sin 2x|}{x^p} dx \ge \frac{1}{\mathrm{e}} \sum_{k=1}^\infty \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin 2x|}{x^p} dx.$$
由于 $\frac{1}{x^p} \ge \frac{1}{(k+1)\pi}$ 在 $[k\pi,(k+1)\pi]$ 上，且 $\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin 2x| dx = 2$，故
$$\ge \frac{1}{\mathrm{e}} \sum_{k=1}^\infty \frac{2}{(k+1)\pi} = \frac{2}{\mathrm{e}\pi} \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k} = +\infty.$$
因此 $I_2$ 不绝对收敛，故原积分条件收敛。
公式：放缩法：$\mathrm{e}^{\sin x} \ge \mathrm{e}^{-1}$，$|\sin 2x|$ 周期积分。
提示：注意 $x^p$ 在区间上取下界时需用右端点，因为 $p>0$ 时 $x^p$ 递增。
步骤 6/7
目标：讨论 $p \le 0$ 时的发散性
当 $p \le 0$ 时，$x^{-p} \ge 1$，故 $|\frac{\mathrm{e}^{\sin x} \sin 2x}{x^p}| \ge \mathrm{e}^{-1}|\sin 2x|$。取区间 $[2n\pi, 2n\pi+\pi/2]$，有
$$\int_{2n\pi}^{2n\pi+\pi/2} \frac{\mathrm{e}^{\sin x} \sin 2x}{x^p} dx \ge \mathrm{e}^{-1} \int_{2n\pi}^{2n\pi+\pi/2} \sin 2x dx = \mathrm{e}^{-1} > 0.$$
由Cauchy收敛准则，积分发散。
公式：Cauchy收敛准则：若存在 $\varepsilon>0$ 使得对任意 $A$ 存在 $B>A$ 使 $|\int_A^B f| \ge \varepsilon$，则发散。
提示：注意 $\sin 2x$ 在区间上非负，且 $\mathrm{e}^{\sin x} \ge \mathrm{e}^{-1}$。
步骤 7/7
目标：总结结论
综合以上讨论：
- 当 $1
提示：注意 $p=2$ 时 $I_1$ 发散，$p=0$ 时 $I_2$ 发散，均需单独考虑。
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