中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第18题
📝 题目
18．讨论下列积分的敛散性．
（1） $\int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \cos \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）这是 B 函数，其玫散性判别见数学分析教材．
（2）$x=0$ 是 $\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ 的瑕点．由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\frac{3}{4}}\left|\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\right|=-\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln x}{x^{-\frac{1}{4}}}=0, p=\frac{3}{4}<1, \lambda=0$ ，所以瑕积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ 收敛。
（3）令 $\displaystyle t=\frac{1}{x^{2}}$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \cos \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos t}{t} \mathrm{~d} t$ ，而 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos t}{t} \mathrm{~d} t$ 条件收敛，故 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \cos \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ 条件收玫。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别积分类型与瑕点
对于积分 $\int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} \mathrm{d}x$，被积函数在 $x=0$ 和 $x=1$ 处可能为瑕点。当 $p<1$ 时 $x=0$ 为瑕点，当 $q<1$ 时 $x=1$ 为瑕点。该积分是Beta函数 $B(p,q)$ 的定义式，其敛散性由参数 $p,q$ 决定。
公式：B(p,q) = \int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} \mathrm{d}x
提示：注意 $p$ 和 $q$ 是参数，需要分别讨论 $p>0$ 和 $q>0$ 时积分收敛。
步骤 2/7
目标：判断Beta函数的收敛条件
根据Beta函数的性质，积分 $\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} \mathrm{d}x$ 收敛当且仅当 $p>0$ 且 $q>0$。若 $p\leq 0$ 或 $q\leq 0$，则积分发散。这是因为在 $x=0$ 附近，$x^{p-1}$ 的瑕积分收敛条件是 $p-1>-1$ 即 $p>0$；在 $x=1$ 附近，$(1-x)^{q-1}$ 的瑕积分收敛条件是 $q>0$。
公式：\int_0^1 x^{\alpha} \mathrm{d}x \text{ 收敛当且仅当 } \alpha>-1
提示：注意 $p$ 和 $q$ 是实数，不要忽略边界情况。
步骤 3/7
目标：识别瑕点并比较判别
对于积分 $\int_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{d}x$，$x=0$ 是瑕点。考虑比较判别法：取 $\lambda = \frac{3}{4}$，计算极限 $\lim_{x\to 0^+} x^{\frac{3}{4}} \left| \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \right| = \lim_{x\to 0^+} \frac{|\ln x|}{x^{-\frac{1}{4}}}$。由于 $\ln x$ 增长慢于任何幂函数，该极限为0。
公式：\lim_{x\to 0^+} x^{\frac{3}{4}} \cdot \frac{|\ln x|}{\sqrt{x}} = 0
提示：注意绝对值处理，$\ln x$ 在 $(0,1)$ 内为负。
步骤 4/7
目标：应用比较判别法判断收敛
因为 $\lim_{x\to 0^+} x^{\frac{3}{4}} \left| \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \right| = 0$，且 $\int_0^1 x^{-\frac{3}{4}} \mathrm{d}x$ 收敛（因为 $\frac{3}{4}<1$），所以由比较判别法，原积分绝对收敛，从而收敛。
公式：\int_0^1 x^{-p} \mathrm{d}x \text{ 收敛当且仅当 } p<1
提示：比较判别法要求被积函数非负，这里取绝对值后比较。
步骤 5/7
目标：变量代换化简积分
对于积分 $\int_0^1 \frac{1}{x} \cos\frac{1}{x^2} \mathrm{d}x$，令 $t = \frac{1}{x^2}$，则 $x = t^{-\frac{1}{2}}$，$\mathrm{d}x = -\frac{1}{2} t^{-\frac{3}{2}} \mathrm{d}t$。当 $x\to 0^+$ 时 $t\to +\infty$，当 $x=1$ 时 $t=1$。代入得：
$$\int_0^1 \frac{1}{x} \cos\frac{1}{x^2} \mathrm{d}x = \int_{+\infty}^1 t^{\frac{1}{2}} \cos t \cdot \left(-\frac{1}{2} t^{-\frac{3}{2}}\right) \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \int_1^{+\infty} \frac{\cos t}{t} \mathrm{d}t.$$
公式：t = \frac{1}{x^2}, \quad \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} t^{-\frac{3}{2}} \mathrm{d}t
提示：注意积分限变换：$x:0\to1$ 对应 $t:+\infty\to1$，交换上下限后符号抵消。
步骤 6/7
目标：判断新积分的敛散性
积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\cos t}{t} \mathrm{d}t$ 是条件收敛的。这是因为：
1. 由Dirichlet判别法，$\int_1^{+\infty} \frac{\cos t}{t} \mathrm{d}t$ 收敛（因为 $\frac{1}{t}$ 单调递减趋于0，$\int_1^A \cos t \mathrm{d}t$ 有界）。
2. 但 $\int_1^{+\infty} \left|\frac{\cos t}{t}\right| \mathrm{d}t$ 发散（因为 $|\cos t|\geq \cos^2 t = \frac{1+\cos 2t}{2}$，而 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{t} \mathrm{d}t$ 发散）。所以原积分条件收敛。
公式：\int_1^{+\infty} \frac{\cos t}{t} \mathrm{d}t \text{ 条件收敛}
提示：注意区分绝对收敛与条件收敛，这里被积函数不是非负的。
步骤 7/7
目标：总结三个积分的敛散性
（1）$\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} \mathrm{d}x$ 收敛当且仅当 $p>0$ 且 $q>0$。
（2）$\int_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{d}x$ 收敛（绝对收敛）。
（3）$\int_0^1 \frac{1}{x} \cos\frac{1}{x^2} \mathrm{d}x$ 条件收敛。
提示：注意（3）是条件收敛，不是绝对收敛。
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