中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第19题
📝 题目
19．设函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续，且 $\forall x \in[1,+\infty)$ ，有 $\displaystyle f(x)>0, \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln f(x)}{\ln x}=-\lambda$ ，试证：若 $\lambda>1$ ，则 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．
用此结论讨论积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left(1-\frac{p \ln x}{x}\right)^{x} \mathrm{~d} x$ 的玫散性．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
方法 1：由 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln f(x)}{\ln x}=-\lambda$ 得 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln f(x)}{\ln x^{-\lambda}}=1$ ，从而 $f(x) \sim x^{-\lambda}$ ，从而当 $\lambda>1$ 时积分 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
方法 2：由 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln f(x)}{\ln x}=-\lambda$ ，对 $\forall \varepsilon>0, \exists A>1$ ，当 $x>A$ 时有 $\displaystyle \frac{\ln f(x)}{\ln x}<-\lambda+\varepsilon$ ，即
$$
\ln f(x)<(-\lambda+\varepsilon) \ln x=\ln x^{-\lambda+\varepsilon}, 01$ ，可取 $0<\varepsilon<\lambda-1$ ．于是 $\lambda-\varepsilon>1$ ，由比较判别法，积分 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫．
下面讨论积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left(1-\frac{p \ln x}{x}\right)^{x} \mathrm{~d} x$ 的敛散性．
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(1-\frac{p \ln x}{x}\right)^{x}}{\ln x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x \ln \left(1-\frac{p \ln x}{x}\right)}{\ln x}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x\left(-\frac{p \ln x}{x}\right)}{\ln x}=-p .
$$
由此得：当 $p>1$ 时积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left(1-\frac{p \ln x}{x}\right)^{x} \mathrm{~d} x$ 收玫，当 $p \leq 1$ 时积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left(1-\frac{p \ln x}{x}\right)^{x} \mathrm{~d} x$ 发散．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用极限条件推导不等式
由 $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln f(x)}{\ln x} = -\lambda$，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $A > 1$，当 $x > A$ 时，有 $\left| \frac{\ln f(x)}{\ln x} + \lambda \right| < \varepsilon$，即 $-\lambda - \varepsilon < \frac{\ln f(x)}{\ln x} < -\lambda + \varepsilon$。由于 $\ln x > 0$，取右边不等式得 $\ln f(x) < (-\lambda + \varepsilon) \ln x = \ln x^{-\lambda + \varepsilon}$，从而 $0 < f(x) < x^{-\lambda + \varepsilon}$。
公式：\frac{\ln f(x)}{\ln x} < -\lambda + \varepsilon \Rightarrow f(x) < x^{-\lambda + \varepsilon}
提示：注意 $\ln x > 0$，所以不等式方向不变。
步骤 2/5
目标：选择适当的ε并应用比较判别法
因为 $\lambda > 1$，取 $0 < \varepsilon < \lambda - 1$，则 $\lambda - \varepsilon > 1$。于是 $f(x) < \frac{1}{x^{\lambda - \varepsilon}}$，而 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^{\lambda - \varepsilon}} dx$ 收敛（因为 $\lambda - \varepsilon > 1$）。由比较判别法，$\int_1^{+\infty} f(x) dx$ 收敛。
公式：\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx \text{ 收敛当且仅当 } p > 1
提示：确保 $\varepsilon$ 足够小使得 $\lambda - \varepsilon > 1$。
步骤 3/5
目标：将结论应用于具体积分
考虑积分 $\int_1^{+\infty} \left(1 - \frac{p \ln x}{x}\right)^x dx$。令 $f(x) = \left(1 - \frac{p \ln x}{x}\right)^x$，计算极限 $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln f(x)}{\ln x}$。
提示：注意 $f(x)$ 的定义域：当 $x$ 充分大时，$1 - \frac{p \ln x}{x} > 0$。
步骤 4/5
目标：计算极限
$$\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln f(x)}{\ln x} &= \lim_{x \to +\infty} \frac{x \ln\left(1 - \frac{p \ln x}{x}\right)}{\ln x} \\ &= \lim_{x \to +\infty} \frac{x \left(-\frac{p \ln x}{x} + o\left(\frac{\ln x}{x}\right)\right)}{\ln x} \\ &= \lim_{x \to +\infty} \frac{-p \ln x + o(\ln x)}{\ln x} = -p. \end{aligned}$$ 这里使用了等价无穷小 $\ln(1+u) \sim u$ 当 $u \to 0$。
公式：\ln(1+u) \sim u \ (u \to 0)
提示：注意 $\frac{p \ln x}{x} \to 0$，所以可以展开。
步骤 5/5
目标：根据结论判断敛散性
由上述极限，$\lambda = p$。根据已证结论：若 $\lambda > 1$ 即 $p > 1$，则积分收敛；若 $\lambda \leq 1$ 即 $p \leq 1$，则积分发散。因此，当 $p > 1$ 时积分收敛，当 $p \leq 1$ 时积分发散。
提示：注意结论中 $\lambda > 1$ 是收敛条件，$\lambda \leq 1$ 时发散。
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